Chapitre 0

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1.          Intégration des fractions rationnelles

Une fraction rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes entiers x.

Si le degré du numérateur est égal ou supérieur à celui du dénominateur, la fraction peut être ramenée à la somme d'un polynôme et d'une fraction en divisant le numérateur par le dénominateur.

Nous allons donc apprendre à intégrer des fractions dont le degré du numérateur est inférieur ou égal à celui du dénominateur

 

Exemple

Par identification:

Remarque

Une méthode rapide pour trouver les constantes A, B et C consiste à annuler les facteurs dans l'équation suivante:

 

 

Exemple

 

Exemple

 

 

Exemple

 

 

2.          Intégration par changement de variables: Rationalisation

Exemple

.

On pose  Þ

  

 

Exemple

En posant

3.          Différentielle binôme

Une différentielle binôme est de la forme :

On peut toujours réduire cette différentielle à la forme

dans laquelle m, n, r, s sont des entiers et où n est positif.

En effet si m et n sont des fractions, choisissons a de telle sorte que ma et na soient des nombres entiers. (a PPCM des dénominateurs de m et de n).

Posons          x=ta. Þ

Nous voyons que les exposants m et n de x sont remplacés par des entiers. De même :

montre que quel que soit le signe de n, l'exposant de x peut être rendu positif.

Exemple

 

Ici m=3, n=2, r =-3 et s=2. .

On pose Þ Þ

2ème  Cas : Þ on pose

Exemple

Ici m =-4, n=2, r=-1, s=2 Þ On pose

4.          Transformation des différentielles trigonométriques

Exemple

Posons  

 

5.          Intégration des expressions contenant ou

Quand  se présente, on pose       

Quand  se présente, on pose       

Quand  se présente, on pose       

Exemple 1

Méthode 1

·        

Posons  et  

Méthode 2

·        

Posons

Exemple 2

·        

On pose   

Exemple 3

·        

On pose  Þ

 

Posons  Þ