Chapitre 1

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Les Vecteurs                

art1

1. Définition d'un point.

1.1          Points et vecteurs liés

Un nombre réel peut être représenté par un point sur un axe   

.

Figure 1

Un couple ordonné de nombres  peut être représenté par un point d'un plan.

Figure 2

Un triplet ordonné de nombres peut être représenté par un point de l'espace.

Figure 3

 

On peut généraliser la définition d'un point  sans qu'on puisse représenter géométriquement ce point.

 

1.2          Addition dans Rn

Soit  A = (a1 , a2 , ..., an )  et  B = (b1 , b2 , ..., bn )  deux points de . On définit la somme de ces deux points par:  A + B  =  (a1 + b1 , a2  + b2 , ..., an + bn )

 

Posons 0 =( 0, 0,..., 0) , , démontrer les propriétés suivantes :

A + B = B + A

(A+ B) + C = A + (B + C)

0+ A = A + 0

A + (-A) = 0

 

1.3          Multiplication d'un point par un réel

Soit  A = (a1, a2 , ..., an  )Î   et . On définit: 

Démontrer les propriétés suivantes

·        

·        

·         (-1)´A=-A

Exemple

·         A = (2, 9); B = (4, 5) Þ A+B = (6, 14)

·         A = - (3,-4); B = (-3, 8)  Þ A+B = (-6, 12)


2. Vecteurs liés.

2.1          Vecteurs liés

Un vecteur lié est un couple ordonné de points A et B de noté (A, B)

Figure 4

2.2          Vecteurs équivalents

Deux vecteurs liés (A,B) et (C,D) sont dits équivalents si et seulement si :

 B - A = D - C

 

 

Remarque : Le vecteur B-A est le vecteur dont l’origine est le point O et dont l’extrémité est le point B-A

2.3          Vecteurs parallèles

Deux vecteurs liés (A,B) et (C,D) sont dits parallèles si un nombre k existe tel que :

B - A = k (D - C)

Si  k> 0     on dit qu'ils ont même sens

Si  k< 0     on dit qu'ils sont de sens opposés

Figure 5

2.4          Produit scalaire

2.4.1     Produit scalaire

Soit  etdeux points de.  Le produit scalaire de A par B est le nombre réel:

Démontrer :

·         A . B = B . A

·         A . (B + C) = A . B + A . C

·         (lA).B = l (A . B) = A.(lB)

2.4.2     Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs A et B sont dit orthogonaux si et seulement si  A . B = 0

2.5          Norme d’un vecteur

2.5.1     Norme d’un vecteur

La norme d'un vecteur A, notée  , est le réel positif définit par

Démontrer

2.5.2     Distance 

La distance entre deux vecteurs A et B est définie par

2.5.3     Cercle et disque

L'équation d'un cercle centré en P et de rayon a>0 est :

Si  et Þ L'équation du cercle de centre P et de rayon r est :

Þ

L’équation d’un disque centré en P et de rayon a>0 est:   

2.6          Projection orthogonale

Soit A et B deux vecteurs liés de ; B ¹ 0. La projection orthogonale de A sur B est le vecteur P  vérifiant:

Figure 6

Calcul de k

Þ  Þ

Soit

Þ

Conclusion:   et  2.7          Equation paramétrique d’une droite

Une droite de passant par un point A et parallèle à un vecteur v a pour équation:

            M = A + t v

La direction de cette droite est le vecteur v

Une droite de passant par deux point A et B a pour équation:

M = A + t (B - A)          ou      M = A + t (A - B)

La direction de cette droite est le vecteur A - B ou le vecteur B – A

Lorsque ,  M = A + t (B - A) est l'équation du segment [ A,B]

2.8          Equation cartésienne d’un plan

Un plan passant par un point A et admettant N comme vecteur normal a pour équation:

N. (X - A) = 0      ou      N.X = N.A

art 2

3. Dérivée d’un vecteur

3.1          Courbe paramétrée

Soit I = [a, b] de R..  L'application qui à tout point t de I associe un vecteur lié X(t) de  est un arc paramétré.

;

3.2          Vitesse et vecteur vitesse

Si X(t) est une courbe paramétrée, le vecteur X'(t) est dit vecteur vitesse au temps t. C’est un vecteur lié à l’origine et parallèle au vecteur tangent à la courbe au temps t.

La quantité

 

est dite la vitesse en ce temps.

3.3          Accélération et vecteur accélération

 

Si  est une courbe paramétrée, le vecteur est dit vecteur accélération au temps t.  La quantité  est dite accélération en ce temps.

3.4          Règles de dérivation

4.  Longueur d’une courbe

La longueur L d’une courbe X(t) est par définition:

 

On peut donc noter

4.1          Courbe donnée en coordonnées cartésiennes

Exemple 1

Longueur du demi-cercle

Figure 7

4.2          Courbe donnée en coordonnées polaires

Définition

Représentation

 

Figure 8


4.3          Courbe donnée en coordonnées cylindriques

Définition

Représentation

 

CoorCylindrique.gif

Figure 9

 

 

 

4.4          Courbe donnée en coordonnées sphériques

Définition

Représentation

spheriques.gif

 

Figure 10