Chapitre 2

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Part 1

1. Définitions

1.1          Normes dans Rn

Nous savons qu'on peut munir Rn de trois normes équivalentes suivantes:

  ;

  ;

 

Nous considérons Rn muni de la norme   dite norme Euclidienne   que nous noterons

1.2          Fonctions numériques

Soit A une partie de l'espace   Rn . On appelle fonction numérique de n variables définie sur A, toute application f de A dans R.

Exemples

 

1.3          Graphe d'une fonction

Sererwe fgsdfg oit f une fonction numérique à n variables définie sur une partie A de  .  L'ensemble des points à n+1 dimensions de la forme:

s'appelle graphe de f.

 

1.4          Surface et Courbe de Niveau

Les surfaces et les courbes de niveau sont obtenues en posant

Si f est une fonction à deux variables, une courbe de niveau  représente l'intersection de la surface avec le plan z = constante.

Exemple 1

 

est l'équation du cercle d'intersection de la sphère avec le plan z=1.

Cette équation est aussi celle de la projection de cette intersection sur le plan x'Ox..

 

Figure 1

Figure 2

 

Exemple 2

Figure 3

Figure 4

 

Figure 5

Figure 6

 

2. Limite et continuité

2.1          Limite d'une fonction en un point.

Soit f une fonction numérique à n variables définie sur une partie A de  .  Notons 

On dit que f(X) tend vers une limite l  lorsque  tend vers  si et seulement si :

Autrement dit

On note

2.2          Continuité

Soit  une  fonction numérique à n variables définie sur une partie A de  .  On dit que f est continue au point  si et seulement si

2.3          Exemples

Les fonctions suivantes ont-elles une limite lorsque (x, y) tends vers (0,0)?

Figure 7

Figure 8

 

 

2.4          Critère de Cauchy 

Soit A      et f: A R. Soit a un point adhérent à A . Les conditions suivantes sont équivalentes:

(a)     

En effet:

Rappelons que : ; ,  et que

(a) Þ (b)

Û

De même

Û

Ainsi

Û

c.q.f.d

(b) Þ (a)

Supposons donc que (b) soit vérifié. a étant un point adhérent à A

 Þ  .

Cette suite converge évidement vers a. Prenons N tel que  . On a ainsi: 

Ainsi la suite f(Xn) est une suite de Cauchy convergente dans R. Soit l sa limite. Montrons que l est aussi la limite de f(X) lorsque X ® a. Nous devons donc montrer que:

Puisque  on a:

Posons 

Ainsi

 c.q.f.d.

Exemples

continue à l'origine

  

n’est pas continue à l'origine.

 

2.5          Lemme

Si une fonction de n variables est continue en un point , alors elle est continue par rapport à chacune de ses variables en ce point.

C'est à dire

Remarque 7

La réciproque de ce lemme est fausse.

Exemple

 

Cette fonction est continue par rapport à chacune de ses variables au point (0,0) car f(x,0) et f(0,y) sont deux fonctions constantes donc continues. Cependant f n'est pas continue au point (0,0).

 

Part 2

3. Dérivées partielles, gradients

3.1          Dérivée partielle

Soit  une  fonction numérique à n variables définie sur une partie A de  . On définit la dérivée partielle de f par rapport à sa ième variable xi  et on note

                      

Exemple 1

;                     ;
;                       

Exemple 2

Soit la fonction: 

.

Calculer .

En effet

   

3.2          Gradient

Soit f une  fonction numérique à n variables définie sur une partie A de  .  Le gradient de f est le vecteur défini par:

 

Démontrer:

·         grad (f+g) = grad f + grad g

·         grad ( f) = grad f

Exemples

4. Différentiabilité et gradients

4.1          Introduction

Soit f une fonction à n variables (n 1) définies dans un ensemble U de . Soit X un point de U. Soit H un vecteur tel que X+H U. Le quotient

n'ayant aucun sens puisqu'on ne peut pas diviser par un vecteur, on doit trouver un autre moyen pour pouvoir définir la différentiabilité (dérivabilité ) d'une fonction à plusieurs variables.

Ramenons nous au cas d'une fonction à une seule variable. Nous savons que:

Posons

 

Þ

Þ

Posons alors , Nous obtenons la relation suivante:

      ()

Inversement: Supposons qu'un nombre a et qu'une fonction g(h) vérifient:

Þ       

En passant à la limite et en remarquant que   on trouve que

Conclusion

La donnée d'un nombre a et d'une fonction g(h) vérifiant () suffit pour définir la différentiabilité de la fonction f, avec l'avantage que h ne figure pas au dénominateur.

Nous nous inspirerons de tout ceci pour définir la différenatiabilité d'une fonction de plusieurs variable.

4.2          Définition (Différentiabilité)

On dit que f est différentiable au point X si les dérivées partielles existent et s'il existe une fonction g(H) tel que  . et tel que

 

Par exemple si f est une fonction à deux variables (x,y), désignons par (h, k) le vecteur H. la condition de differentiabilité  devient alors:

 avec

Exemples

Etudier la différentiabilité  de f au point (0, 0)

4.2.1     Théorème 1

Toute fonction différentiable en un point X est continue en ce point.

En effet:

Lorsque H ® 0    grad f(X).H  ®0. Þ f(X+H) ® f(X) d'où la continuité.

4.2.2     Théorème 2

Soit f une  fonction numérique à n variables définie sur une partie A de  .Si les dérivées partielles de f existent et sont continues en un point  alors cette fonction est différentiable en ce point.

Faisons la démonstration pour une fonction à deux variables.

Soit un point A=(a, b) et H=(h, k). On a

La fonction est une fonction  à une seule variable y dérivable.. En appliquanr  le théorème des accroissement finis on obtient:

En faisant le même raisonnement que pour la première variable on obtient:

D'où

En fin de comptes en  posant:

On obtient:

Puisque les dérivées partielles sont continues, nous déduisons:

Posons:

Þ

Or 

Þ       

Ainsi nous avons trouvé une fonction  vérifiant les conditions de la différentiabilité:

            c.q.f.d.

4.3          Définition (Différentielle)

Si  est différentiable en un point  La différentielle de f au point   est définie par :

Pour une fonction à trois  variables :

On peut généraliser pour une fonction à n variables.

5. Dérivées partielles d'ordre supérieures

5.1          Définition

Soit f une fonction à deux variables (x,y). Les dérivées partielles quand elles existent sont aussi des fonctions de (x,y). Nous pouvons aussi calculer leurs dérivées partielles. Nous obtenons ainsi

 que nous notons 

  

et

5.1.1     Théorème (dit de Schwartz)

Soit f une fonction à deux  variables définie dans un ensemble ouvert U. Si les dérivées partielles secondes et   existent et sont continues dans U, elles y sont aussi égales.

 .

En effet

Soit w un voisinage du point (0,0) tel que, pour tout (h,k) de w, on ait (a+ h, b+ k) dans U. On définit sur w la fonction F  par:

Fixons k et considérons la fonction:

Nous avons :

Þ 

C’est une fonction continue et dérivable de la seule variable x. Dérivons:

Il résulte du théorème des accroissement finis qu’un a compris entre 0 et 1 existe tel que :

Þ       

Mais la fonction est dérivable. Une nouvelle application du théorème des accroissements finis montre qu’il existe b entre 0 et 1 tel que :

Comme  est continue au point (a,b) on a :

Soit maintenant Y la fonction à une seule variable définie par:

En raisonnant comme précédemment, on trouve que:

Ce qui prouve bien que

        c.q.f.d.