Chapitre 3

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                    Dérivée D'une Fonction Composée

Part 1

1.    Règles de dérivation d'une fonction composée

1.1.                    Définition d'une fonction composée

On dit que f est une fonction composée des n variables, par  l’intermédiaire des p fonctions “composantes”

si elle est définie par une relation de la forme générale

Lorsque, n=p=2, nous utiliserons les notations  

Rappel

Lorsque y = f(x) est une fonction à une seule variable, et lorsque x=x(t), nous savons que:  . Nous voulons généraliser lorsque f est une fonction de plusieurs variables.

1.2.                    Loi de dérivation d'une fonction composée

Soit f une fonction de plusieurs variables, différentiable sur un ouvert U de . Nous supposons que X est une fonction de t. c' est à dire:

Alors:

Qu'on écrit plus simplement:

Autrement dit:

Exemple :

Posons :

,

1.3.                    Dérivation des fonctions implicites

Définition

Si plusieurs variables, trois par exemple, sont liées par une relation

                                                 F(x, y, z)=0,

l’une d’entre elles, z par exemple, est une fonction implicite des autres.

 

Exemple

 définit   sur le domaine .

Par extension, on parle encore de fonction implicite lorsque z vérifiant

 F(x, y, z)=0

 n’est pas unique, la fonction implicite possède alors plusieurs ”déterminations”.

Si F admet des dérivées partielles par rapport à x, y et z, on peut démontrer que, sauf en des points exceptionnels, z=j(x, y) admet des dérivées partielles.

Envisageons deux cas:

Cas 1 : z=j(x) définie par F(x, z)=0.

d’où

Þ

Cas 2 : z=j(x, y) définie par F(x, y, z)=0

Þ  

Þ

Þ Comme  

2.    Extremums des fonctions numériques de deux variables

2.1.                    Extremum local

Soit f une fonction définie dans un ensemble ouvert U de R2.

1.      On dit que f admet un maximum local en P si et seulement si :

Autrement dit qu’il existe un voisinage de P tel que  est un maximum dans ce voisinage.

2.      On dit que f admet un minimum  local en P si et seulement si :

Autrement dit qu’il existe un voisinage de P tel que  est un minimum dans ce voisinage.

3.      On dit que f admet un extremum local en P si et seulement si f admet un maximum local ou un minimum local en ce point.

Similitude avec une fonction à une variable :

Figure 1

2.2.                    Points critiques

Soit f une différentiable définie dans un ensemble ouvert U. Soit P un point de U. Si toutes les dérivées partielles de f sont nulles au point P, nous disons alors que P est un point crtitique de f. 

 

Pour une fonction de deux variables le point  est un point critique de f  si et seulement si :

C. à d.

                   et

Théorème

Soit f une différentiable définie dans un ensemble ouvert U de . Soit P un point où f atteint un maximum local (respectivement un minimum local). Alors P est un point critique de f.

En effet

La démonstration est identique à celle d’une fonction d’une variable. Considérons un vecteur non nul H et une valeur de t, choisi de façon que P+tH soit toujours dans U. Comme  est un maximum on a :

La fonction d’une variable  admet un maximum local au point t=0,  c'est-à-dire

Figure 2

 Or :

Pour t =0 :

Cette égalité est vraie pour tout H donc :

Þ

Þ

Þ P est un point critique de la fonction f.

Comme pour une fonction à une variable trois un point critique peut être un maximum local, un minimum local ou bien un point d’inflexion. Voici une schématisation  de ces trois cas.

Figure 3

Voici pour une fonction de deux variables  trois cas de points critiques :

Figure 4

Part 2

3.    Plan tangent

3.1.                    Définition d'une surface

Soit f une fonction différentiable définie dans un ensemble ouvert U de.  Soit k un nombre. L'ensemble des points X tel que :

est appelé surface.

Exemple

 est une surface appelée sphère.

 

3.2.                    Propriété

Soit S une surface définie sur U par:

 F (X) = k  avec gradF(X) 0.

Le vecteur gradf(X) est perpendiculaire à toutes les courbes de la surface passant par le point F(X).

Il est dit vecteur normal à la surface S.

 

En effet:

Soit C(t) une courbe appartenant à la surface S, c'est-à-dire

 

et soit un point P=C() de cette courbe. Dérivons par rapport à t:

Comme C'() est la direction du vecteur tangent à la courbe C(t) au point P nous déduisons qu'en ce point le vecteur gradF(P) est normal à la courbe C(t). Il en est ainsi de toutes les courbes passant par P et appartenant à la surface S. GradF(P) est donc normal à la surface en ce point.

Exemple 1

Soit  S la surface définie par :

et soit  un point de la surface.  Considérons les deux courbes

·         C(x) est l’intersection de la surface S avec le plan y = x. 

o       Ecrire l’équation de cette courbe

o       Vérifier que P est un point de C.

o       Trouver  la direction de la tangente à cette courbe au point P

·         Mêmes questions pour    intersection de la surface S avec le plan y =1- x. 

Solution

 et  

Figure 5

 représente la direction à tangente à la courbe C et par conséquence à la surface S au point

Or :

De même  représente la tangente à la courbe et par conséquence à la surface S au point P.

La normale à ces deux tangentes est donnée par :

 

Or

Ceci prouve que le vecteur  et le vecteur  sont colinéaires.  On voit bien que le vecteur est le vecteur normal à la surface au point P.

 

Exemple 2

Ecrire l’équation de la tangente à la courbe   au point P=(1, 2) et définir un vecteur normal à cette courbe en ce point.

Figure 6

Posons . Une normale à cette courbe est définie par :

Au point P : 

Soit X le point courant de la tangente. Comme P est aussi un point de la tangente, le vecteur porté par la tangente est donné par X-P. Ainsi le produit scalaire de la normale à la courbe avec ce vecteur est nulle.

L’équation de la tangente à la courbe au point P est alors par :

             Þ Þ

 

 

3.3.                    Définition d'un plan tangent

Soit S une surface définie sur U par : F (X) = k  avec gradF(X) 0. Le plan tangent à la surface S  en un point  est par définition le plan passant par P et admettant gradF (P) comme vecteur normal.

Figure 7

Exemple 3

·         Ecrire l’équation du plan tangent à la surface  au point P= (1, 2, 5)

Solution

Posons. La normale à cette surface est donnée par :

Þ

L’équation du plan tangent à la surface au point P est donné par :

 Þ

Þ

Figure 8

 

Exemple 4

·       Trouver l’équation paramétrique de la tangente à la courbe d’intersection des deux surfaces suivantes :            et   au point  P=(1,1,2)

Figure 9

Solution

Posons  et  

Méthode 1

Le vecteur porté par la tangente aux deux courbes est donné par :

L’équation de la tangente est alors :

Méthode 2

Equation du plan tangent à la surface S1 au point P :

Þ

Equation du plan tangent à la surface S2 au point P :

Þ

L’intersection des deux plans est la tangente aux deux surfaces et passant par P.

 dans le plan x= y

Remarque

Þ

 

4.    Dérivée directionnelle

4.1.                    Définition

Soit f une fonction différentiable de  dans R et u un vecteur unitaire  de U. On appelle dérivée de f au point P dans la direction du vecteur u, la limite au point t=0, si elle existe du rapport suivant:

 

La notation  est aussi adoptée.

F étant différentiable au point P, on a :

Donc

Interprétation géométrique

Soit f une fonction numérique différentiable définie dans un ensemble ouvert  définissant une surface S.  Soit  P (u, v) un point et u(a, b) un vecteur unitaire du même ouvert A.

La droite passant par P et parallèle au vecteur u, a pour équation: X (t)=P+t u..  est la courbe intersection de la surface avec le plan P+tu. La pente de la tangente à cette courbe au point f(P) est donné par .

Or

Pour t = 0 :

La pente de cette tangente est donc confondue avec la dérivée directionnelle de f  au point P dans la direction de u .

La direction de cette tangente est donc donnée par :

Figure 10

1.   Exemple 1

Soit  et  soit  Calculer la dérivée de f dans la direction de  au point P(-1,3)

Solution

Posons

v n’étant pas un vecteur unitaire considérons le vecteur

Þ

la direction de la tangente au point  à la surface  dans la direction de u  est donnée par :

 

4.2.                    Maximum de la dérivée directionnelle

Nous savons que pour un vecteur unitaire u :

Notons  l’angle que fait le vecteur  avec le vecteur u. Alors :

Puisque le maximum de  est atteint lorsque  et puisque  est une constante positive, le maximum de  est atteint lorsque  c'est-à-dire lorsque le vecteur unitaire u est dans la direction du

 

2.   Exemple 2

Dans l’exemple précédent u doit être :

Le maximum de  est alors

 

3.   Exemple 3

Ecrire l’équation de la tangente à la surface dans la direction  de  au point  avec

Solution

La pente de tangente est :

Méthode 1

 Þ  Þ

Þ  Þ  Þ

Méthode 2

Þ Þ

Direction de la Tangente

Equation de la Tangente

L'équation de la tangente à la surface au point dans la direction A,  est l'équation de la droite passant par le point et parallèle au vecteur u :  

Þ

Þ

 


 

4.   Exemple 4

Ecrire l’équation de la tangente à la surface dans la direction  de  au point  avec

Pente de la tangente

Þ Þ

Direction de la Tangente

Equation de la Tangente

  La tangente est la droite passant par le point et parallèle au vecteur : 

 Þ  Þ

Figure 11

 

5.   Exemple 5

Soit  et . Soit P=(a,b) Calculer  et

Solution

Or

De même :

 

6.   Exemple 6

Soit la fonction f :   et soit le point P (1,1) et le vecteur  Calculer

Solution

Première méthode

 

Þ

Deuxième méthode

Le plan passant par la droite et parallèle à l’axe des z a pour équation y=x. La courbe d’intersection de ce plan avec l’hémisphère est donnée par:

Þ  Þ   

Tangente

L'équation de la tangente à la surface au point dans la direction u,  est l'équation de la droite passant par le point et parallèle au vecteur :

 

 Þ  

 Þ

            Þ 

 

7.   Exemple 7

Soit la fonction définie par  C’est une surface de révolution autour de l’axe z’z car   Soit le point P (1,1) et le vecteur  Calculer

Solution

Première méthode

 ;

Þ

Deuxième méthode

Le plan passant par la droite et l’axe des z a donc pour équation y=x. Ce plan coupe l’hémisphère en :

Þ

Þ

Tangente

Posons

  c.à d.

Þ

Þ

 

 


5.    Supplément de technique de dérivation

Considérons le cas d’une fonction à deux variables u et v où  u et v dépend chacune de deux  variables x et y.  u= u(x, y)    et   v= v(x, y)

En appliquant successivement la règle de dérivation en fixant x puis en fixant y on obtient:

Voici l’écriture matricielle de ce résultat:

où la matrice

est dite “matrice jacobienne” de u et v par rapport à x et y.