Chapitre 4

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                            Fonctions Potentielles

1.   Formes Différentielles

1.1.                  Définitions

Cas de deux variables

Soit U un ouvert de  . On appelle forme différentielle sur U toute application telle qu'il existe deux applications  de classe sur U telle que :

Cas de trois variables

Soit U un ouvert de . On appelle forme différentielle sur U toute application telle qu'il existe deux applications  de classe   sur U telle que :

-

1.2.                  Formes différentielles exactes

Définition

Soient U un ouvert de  et une forme différentielle sur U. On dit que  est exacte sur U (ou:admet des primitives sur U)  si et seulement s'il existe  de classe sur U telle que :

En utilisant les composantes P et Q de :

La relation  est équivalente à :

   ou

Définition analogue pour trois variables

Exemples

-

1.3.                  Formes différentielles fermées

Définition

Cas de deux variables

Soit U un ouvert de et  une forme différentielle sur U, définie par:

On dit que est fermée sur U si et seulement si :

 ou

Cas de trois variables

Soit U un ouvert de   et  une forme différentielle sur U, définie par :

On dit que est fermée sur U si et seulement si :

,

Ou

, ,

Méthode pour mémoriser :

Définissons le vecteur rotationnel par :

Une forme différentielle  est fermée si

Notation

Si  la forme s’écrit :

Une forme différentielle  est fermée si :

 

-

Théorème

Toute forme différentielle exacte est fermée.

On fera la démonstration dans R2

Démonstration

Soit    

 

une forme différentielle exacte sur un ouvert U  Ceci équivaut à dire qu’il existe une fonction f de classe  telle que :

Þ  Þ  

P et Q étant de classe  sur U Þ   et  continues

 Þ  et  continues et d’après le théorème de Schwartz :

Þ 

On fait de même pour une forme différentielle de trois variables 

-

Définition

Soit X un ensemble borné de  ou de

1) Soit  ; on dit que X est étoilée par rapport à A si et seulement si :

où [ AM ] désigne le segment joignant A et M, c'est à dire

2) On dit que X est étoilée si et seulement s’il existe tel que X soit étoilée par rapport à A.

Rappel : Une partie A de R2 est dite connexe par arcs, si et seulement si, tout couple de point de A peu être joint par une courbe entièrement contenue dans A.

-

Théorème de Poincaré

Soient U un ouvert étoilé de  (ou ) et  une forme différentielle sur U. Si  fermée sur U alors  est exacte sur U.

Exemple

Etudier la forme différentielle  définie sur par :             

Posons  et

Nous avons :   

La forme différentielle  est donc fermée. Comme  est étoilé elle est donc exacte.

On peut le vérifier en considérant la fonction :

 

et en remarquant que :

-

2.   Champ de vecteurs

Définition

Soit U un ensemble ouvert. Nous appelons champ de vecteurs ou champ vectoriel, toute application  qui à tout point de U associe un vecteur de même dimension.

    

Exemple

§        Soit   C’est un champ vectoriel défini sur .

Figure 1

§        Soit   C’est un champ vectoriel défini sur .

 

 

§        Le champ de vecteurs   est un champ de vecteur associé à la fonction différentiable f  Il est dit champ de gradient.

Figure 2

-

3.   Fonctions potentielles

3.1.                  Définition

Soit F  un champ de vecteurs défini sur un ensemble ouvert U.

Soit j est une fonction différentiable définie sur U vérifiant F = gradj. j est dite fonction potentielle de F.

Si  F = - gradj , j est dite énergie potentielle de F.

3.2.                  Existence d’une fonction potentielle

Le problème d’existence d’une fonction potentielle d’un champ de vecteur :

C’est un problème identique à celui de trouver si la forme  est exacte.

exemple 1

Soit . Posons  et . Alors :

F n’admet donc pas une fonction potentielle.

 

Exemple 2

Soit  admet-elle une fonction potentielle?

Posons  et  Þ  

F n’admet donc pas de fonction potentielle.

 

Exemple 3

Soit  admet-elle une fonction potentielle?

Posons f(x, y)=2xy et  Þ  

Comme F est définie dans  en entier et que est étoilé, elle admet donc une fonction potentielle. Soit j cette fonction.  j Vérifie:

En fin de compte nous obtenons

Þ

 

 

Exemple 4

Soit .  Admet-elle une fonction potentielle ?

   Þ  Þ

Þ

Þ  Þ

Þ Þ

Þ

Figure 3


Exemple 5

Soit  admet-elle une fonction potentielle?

Posons  et  Þ  

Mais la fonction n'admet pas une fonction potentielle dans  puisqu'elle n'est pas continue au point (0,0).

Par contre si on pose avec Þ  

G admet une fonction potentielle dans tout U étoilé ne coupant pas l’axe des y.

Si on passe en coordonnées polaires on obtient :

Donc

Résultat à retenir pour ultérieurement.

Figure 4

 

 


 

Exemple 6

Soit  admet-elle une fonction potentielle?

Posons  et  =>

P et Q sont définies dans  qui n’est pas étoilé. Considérons un domaine U étoilé de R2  et qui ne contient pas le point {0,0}. Dans ce domaine il est facile de prouver que :

est définie dans Þ Le champs de vecteur  admet donc une fonction potentielle dans

 

 

-

4.   Dérivation sous le signe somme

4.1.                  Théorème

Supposons qu'une fonction de deux variables f ainsi que sa dérivée partielle D2f existent et sont continues dans le rectangle [a, b][c, d]. Posons

Alors F est dérivable par rapport à y et

4.2.                  Généralisation:  Formule de Leibniz

Þ

 

exemples

§       

o      

§       

o      

o      

-