Chapitre 5

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                            Intégrale curviligne

Session

 

1. Définition et calcul d' une intégrale curviligne

Nous supposons dans tout ce qui suit que n=2 ou n=3 et que tout champ de vecteur F et toute courbe C sont de classe au moins C1 .

1.1          Introduction

Considérons un champ de vecteurs  F défini dans un ensemble ouvert U. Supposons que F est un champ de force, le vent par exemple, et qu’un avion se déplace sur une courbe  d’un point  à un point .

 

Figure 1

 

Pour calculer le travail de cet avion le long de cette courbe on calcule en fonction de t la composante des forces le long de la courbe F(C(t)).C’(t) et ensuite on intègre le résultat le long de cette courbe.

Définition

Soit U un ensemble ouvert, et F un champ vectoriel défini dans U. Soit C(t) une courbe dans U définie dans [a,b]. On appelle intégrale curviligne de F le long de C et on note   intégrale:

Le produit scalaire 

F(C(t)).C’(t)

est une fonction de t et c’est la projection de F(C(t)) sur tangente C’(t), à la courbe C.

Remarque 1

Si C(a)=P et C(b)=Q on écrit aussi:   

Remarque 2

Si F(C(t)) est le champ des vecteurs unitaires portés par les tangentes à la courbe C(t),

L’intégrale curviligne est interprétée comme étant la longueur de la courbe C

Remarque 3

Si le champ F et la courbe C sont donnés par:

 ;

Alors: 

1.2          Technique de calcul d’une intégrale curviligne

exemple 1

Calculer l’intégrale curviligne du champ vectoriel  le long du segment joignant le point O(0,0) au point P(1,1).

 

Figure 2                                   Figure 3

 

                       

Le segment OP a pour représentation paramétrique :

C(t)=t P   Þ   C(t) = (t, t)   Þ   C’(t) = (1, 1) 

  Þ  

exemple 2

Trouver la circulation de le long de la parabole  entre (1,-1) et (1, 1). Þ

                                          

Exemple 3

Circulation du champ  le long du cercle de centre (0, 0) et de rayon 3 dans le sens trigonométrique du point (3, 0) au point .

 

L’intégrale curviligne entre (3, 0) et  existe car si G(x, y) n’existe pas au point (0, 0), il existe bien un ouvert U contenant l’arc et dans lequel G(x, y) est différentiable..

L’équation paramétrique de l’arc de cercle en question.

  

Þ ;  C(0)=(3, 0)

Þ

Þ

Þ

Conclusion

On vient de redémontrer que :

1.3          Courbes fermées

Définition

Si la courbe est la réunion d'un nombre fini d'arcs de courbes  où Ci est défini sur  tel que , nous définissons :

Nous dirons que la courbe C est fermée si

exemple 4

Soit

.

Calculer la circulation de F le long de la courbe fermée C constituée du segment de droite joignant le point (1, 1) au point (0, 0)  et de l’arc de parabole

 

allant du point (0, 0) au point (1, 1).

         

Calcul de

Þ

 

Þ

Calcul de

 Þ

 Þ

1.4          Chemin inverse

Si dans l’exemple précèdent nous avions inverser le sens de parcourt sur C1 et C2 nous aurions obtenu pour réponse  (à vérifier). Nous admettrons les notations suivantes:

Si C est la courbe allant de P à Q, C- serait la même courbe mais parcourue de Q à P.

Paramétrisons . Si C(t) est la courbe définie sur [a, b] nous définissons (t) la courbe définie sur [a, b] par: 

(t)=C(a+ b- t)

En effet

(a)=C(b); (b)=C(a)

 et lorsque t croit de a à b, a+b-t décroît de b à a.  n’est donc que C mais parcourue dans le sens inverse.

Lemme

Soit F un champ de vecteurs défini dans un ensemble ouvert U, et soit C une courbe définie sur [a,b]. Alors:   

En effet

2. Intégrale curviligne d'un champ dérivant d'un potentiel

On rappelle qu'un champ de vecteurs F est dit dérivant  d'un potentiel s'il admet une fonction potentielle.

Théorème 1

Soit F un champ vectoriel dérivant d'un potentiel f défini dans un ensemble ouvert U. Soit C une courbe dans U, joignant P à Q. Alors:

et l’intégrale de F est donc indépendante de la courbe C joignant P à Q.

en effet

Corollaire

Si F dérive d'un potentiel,  l'intégrale curviligne de F le long de toute courbe fermée définie dans U est nulle.

En plus s'il existe un chemin fermé G tel que:

 

on peut déduire que F n'admet pas de fonction potentielle.

exemple 5

Soit     

ici         ,

d’où l’intégrale de F sur un chemin quelconque joignant   P(1, -1, 2)    à    Q(-3, 2, 5) est::

 

Théorème 2

Soit U un ensemble ouvert connexe et F un champ de vecteurs définis sur U. Si étant donnés P et Q deux points quelconques de U, l’intégrale:    est indépendante de la courbe C dans U joignant P à Q, alors F admet une fonction potentielle dans U.

En effet

Fixons un point P0 de U et soit X un point courant de U. Posons :

Cette intégrale étant indépendante du chemin joignant P à Q, nous ne le précisons pas dans l’écriture de j(X). Supposons  et alors

 

Montrons que F=gradj  i.e. 

Pour cela considérons le quotient de Newton:

Choisissons pour une courbe C joignant X à X+hEla droite joignant X à X+hEi. C a pour équation:

C(t) = X + t (X + hEi - X)=X + t hEi  Þ  C’(t) = h Ei

Or 

d’où

u = ht et . D’après le théorème fondamentale de l’intégration :

car en posant :  

Or Þ

 

Or  c.q.f.d.

Théorème 3

Soit U un ensemble ouvert connexe et F un champ de vecteurs définis sur U. Si  l'intégrale curviligne de F le long de toute courbe fermée contenue dans U est nulle , alors F admet une fonction potentielle dans U.

en effet

Soient P et Q deux points quelconques de U, et soient deux courbes (C) et (G) joignant P à Q. La courbe est une courbe fermée joignant P à P. Donc:

Intégrale de P à Q est donc indépendante du chemin suivi et d’après le théorème 2 F admet une fonction potentielle dans U.                                                   c.q.f.d.

Théorème 4

Soit F un champ vectoriel défini dans  F=(f, g), vérifiant

Soit C le cercle de centre O(0,0) et de rayon 1, orienté dans le sens trigonométrique.

1er cas: 

Si   Þ  F admet une fonction potentielle.

2ème cas:

Soit     et

Si   tel que  


 

3. Masses, centres d’inertie, moments d’inertie

3.1          Masse d’un fil

On appelle fil tout couple  où C est une courbe de classe par morceaux et  une application continue appelée la densité linéaire du fil.

On appelle masse d’un fil  le réel m défini par , où M décrit C.

3.1.1     Exemple

Calculer la masse d’un fil  où C est défini par :

 et

 

3.2          Centre d’inertie d’un fil

Le centre d’inertie d’un fil  est le point G de  défini par :

où M décrit C, s l’abscisse curviligne du point M sur C et m la masse du fil

3.2.1     Exemple

Déterminer le centre d’inertie G du fil homogène  formé par la demi-cardioïde d’équation polaire

Méthode 1

Méthode 2

Þ

Þ    Þ

Þ

 

3.3          Moment d’inertie d’un fil

Soit H un point ou une droite ou un plan de ; pour tout point M de , on note  la distance de M à H.

Le moment d’inertie d’un fil  par rapport à H est le réel  défini par :

où M décrit C et s est l’abscisse curviligne de M sur C

 

 

3.3.1     Exemple

Calculer le moment d’inertie par rapport à O du fil  où :

 

On a :