Chapitre 6

Home
Up
T.D.6
TD6 - Download
Ch6 - Download
Ch6 Eng. PDF
T.D.6 Eng.

 

                             Intégrales doubles

Part 1

1. Parties Quarrables

Pavés

On appelle pavé fermé borné de R2 toute produit cartésien  où I et J sont des intervalles de R.

 est un exemple d’un pavé fermé borné de R2.

Parties pavable

On appelle partie pavable de R2 toute réunion d’un nombre fini de pavés bornés de R2.

Parties quarrables

Soit D une partie bornée de R2. On note :

§          la borne inférieure des aires des parties pavables de R2 contenant D.

§          la borne supérieure des aires des parties pavables de R2 contenus dans D.

On dit que D est quarrable si et seulement si  ; dans ce cas, on appelle aire de D, et on note  le réel défini par :

 

Figure 1

Figure 2

Figure 3

 


 

1.    Intégrale Double

1.1.                    Définition

Soit f une fonction continue sur un rectangle U de . U = [a, b]´[c, d]=I ´ J. Partageons l’intervalle I comme suit:

Nous notons cette partition. De même partageons l’intervalle J en posant :

Figure 4

Nous notonscette partition. Ainsi le rectangle U est partagé en sous- rectangle :

Nous avons :

Aire(U)=(d - c)(b - a)  et 

La fonction f étant continue sur le rectangle U, est continue sur tout sous-rectangle  de U, et y est ainsi bornée. Ce qui entraîne l’existence de et de .  Posons:

Si  est un point de  tel que  n’est ni un minimum ni un maximum de la fonction, alors la somme:

est nommée somme de Riemann relative à f. Nous avons alors les inégalités suivantes:

  Þ    L(P, f) £ S(P, f) £ W(P, f)

Nous disons que f est intégrable sur U, si lorsque n et m tendent vers l’infini ces trois sommes tendent vers une même limite. Nous appelons cette limite intégrale double de f sur U et nous la notons:

Théorème 1

Soit U un rectangle. Toute fonction définie et continue dans U est intégrable dans U.

Théorème 2

Soit U un rectangle et soit f une fonction définie dans U, bornée et continue sauf peut-être sur un nombre fini de courbes de classe C1. Alors f est intégrable dans U.

 

Proposition

Soit A une région de R2 dont la frontière est une courbe (ou la réunion d'un nombre fini de courbes de classe C1).  Si A est bornée (i. e pouvant être comprise dans un rectangle U) et si f est une fonction continue dans A alors f est intégrable sur A.

En effet

Soit A une région de dont la frontière est une courbe (ou la réunion d'un nombre fini de courbes) de classe C1 . A est supposée bornée donc pouvant être comprise dans un rectangle U. Soit f une fonction définie dans A.

 Nous voulons calculer l'intégrale double de f sur A.. Pour cela prolongeons la fonction f sur tout le rectangle U, en posant:

  

La fonction est continue dans U, sauf peut-être sur la frontière de A. qui est une courbe de classe C1 . On pose alors  

Théorème 3

Toute application  bornée et continue sur une partie quarrable D de R2 est intégrable sur D.

1.2.                      Propriétés élémentaires de l’intégrale double

Théorème 4

Soient f et g deux fonctions définie et continues dans une partie quarrable U.  Alors

Théorème 5

Soient f et g deux fonctions définie et intégrables dans une partie quarrable U, avec

Théorème 6

Soit A une région bornée de R2 , réunion de deux régions B et C n'ayant en commun qu'un nombre fini de courbes. Si f est une fonction définie et continue dans A sauf peut-être sur un nombre fini de courbes de classe C1 alors

Autrement dit :

Théorème 7 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Si f et g sont deux fonctions intégrables sur une partie quarrable D de R2, alors  et sont intégrables sur D et :


2.    Calcul d'une intégrale double

2.1.                      Calcul sur un pavé

Théorème 6

Soit f une fonction intégrable sur un rectangle (pavé) U=[a, b][c, d].
Si pour tout:  est intégrable sur [c, d] alors:
la fonction de x :  est intégrable sur [a, b]
et

exemple 

Calculer                rép.

Cas particulier

Soient

§          tel que  et

§        

§          continue

§          continue

Alors l’application , définie par  est intégrable sur D et :

On dit alors que l’intégrale double est à variable séparée.

2.2.                      Calcul sur un domaine quarrable

Théorème de Fubini 

1ère  Version

Soient :  tel que

·         , deux fonctions de classe C1 tel que 

·        

·          continue

Alors

·         D est quarrable

·         f est intégrable sur D

·        

Ceci montre que l’intégrale double se ramène à deux intégrales simples emboîtées.

Figure 5

exemple

1.      Calculer l'intégrale double de la fonction   sur le domaine

Figure 6

Théorème de Fubini

2ème  Version

Soient :

·          tel que

·         ,  deux fonctions de classe C1 tel que  

·        

·          continue

Alors

·         D est quarrable

·         f est intégrable sur D

·        

Figure 7

exemple

2.       et D est limité par y=1, y=2, x=0, x= y. (rép. )

Figure 8

 

2.3.                      Calcul d'aires

La surface d'un domaine A de R2 est donnée par

en effet

Figure 9

exemple

Calculer la surface du domaine borné par la droite y = x et la courbe .

Figure 10

2.4.                      Calcul de Volume

Si la fonction f(x, y) est positive pour tout (x, y) de U, et si f(x, y)  représente une hauteur, l’intégrale double est alors interprétée  comme étant le volume de la région de l'espace à trois dimensions située au-dessus de l'ensemble U et limitée supérieurement par le graphe de f.

Autrement dit, si f(x, y) est l'équation d'une surface S, le volume V compris entre la surface S et le plan xOy est donné par:

Exemple

 

Cette intégrale est interprétée comme le volume compris entre la partie du plan z=1-x-y située au-dessus du triangle  et le plan xOy.

Figure 11

Part 2

3.   Changement de variables dans une intégrale double.

3.1.                  Coordonnées quelconques.

Soit f une fonction des deux variables x et y définie sur un ensemble ouvert U. Supposons que x = x(u, v) et y = y(u, v) sont deux fonctions de classes C1 sur U. Le jacobien de la transformation de  est par définition le déterminant:

On note : 

On démonte que :

3.2.                    Fonction composée

§         On démontre aussi que si J est le jacobien de la transformation  alors le jacobien de la transformation est

§         On démontre de même que le jacobien J de la transformation :
 est :

3.3.                  Changement de variables affine

Þ  Þ

Exemple

Calculer l’intégrale double de la fonction  sur le pavé :

Effectuons un changement de variables

 Þ   Þ

Þ

3.4.                  Coordonnées polaires

 Þ 

Þ

Exemple

1.      Soit à calculer l’aire d’un disque de rayon a: Nous savons que :

Þ

Figure 12

 

2.      Calculer l’intégrale double de la fonction  sur le domaine

En passant en coordonnées polaires on trouve :

Þ

Figure 13

4.    Exemples divers

3.      f(x, y) = 2xy et D est le triangle déterminé par y = x, x+y=2 et x = 0.

Figure 14

4.      (rép. )

Figure 15

5.      (rép. )

Figure 16

 

Part 3

5.    Intégrale double sur un domaine admettant un élément de symétrie

Etudions l'intégrale:

D est un domaine admettant, soit un centre de symétrie, soit un axe de symétrie (droite ou oblique).

a)   Si, la fonction f associe deux nombres opposés à deux points P et P' symétriques on a I = 0

En effet, dans le calcul de l'intégrale double I comme limite de sommes s  on peut se limiter a des subdivisions (d) formées de domaines deux à deux symétriques et convenir de choisir, dans deux domaines symétriques, deux points symétriques; on obtient ainsi s(d) = 0 pour toutes les subdivisions (d) considérées. On en déduit  I=0.

Domaine qui admet l'axe des x comme axe de symétrie avec une fonction f vérifiant  ;

Figure 17


b)   Si, la fonction f associe deux nombres égaux à deux points P et P’ symétriques, on démontre de la même façon,

D' désignant un sous-ensemble de D tel que, D'' désignant l’homologue de D' dans la symétrie considérée, les domaines D' et D'' soient disjoints et D'ÈD''=D

Domaine qui admet l'axe des x comme axe de symétrie avec une fonction f vérifiant  ;

Figure 18

 

6.   Calcul de l’intégrale double par utilisation des courbes de niveau.

Théorème

Si le domaine d'intégration D est engendré par des courbes de niveau
 de la fonction f alors:

où  A(t) est la surface de D exprimée en fonction de t.

Démonstration

Soit f une fonction de deux variables définie sur un domaine D.

Notons C(t) la courbe définie par .  Nous supposons que :

§        D est engendré par les courbes C(t) lorsque t croit de a à b.

§        D(t) est la partie du domaine comprise entre C(a) et C(t).

Figure 19

Posons    :   et  d = D(t+dt) - D(t)

Alors        : 

Posons    :  .

Alors        : = L’intégrale à calculer

                     

Appliquons la relation de Chales Nous avons :

Pour tout  de « d » nous avons: 

 

Þ

Þ 

Þ

Þ 

On en déduit  lorsque dt tend vers zéro :

 Þ    Þ 

Or  Þ   Þ

c.q.f.d.

Exemple 1

Soit à calculer  où D est le disque

Exemple 2

Calculer  ; D étant défini par .

Les courbes de niveau  engendrent le domaine D quand t croit de 0 à 1.

A(t) = pabt.

A’(t) = pab

 

7.    Masse , Centre d’inertie, Moment d’inertie

7.1.                    Masse d’une plaque plane

On appelle plaque plane tout couple  où D est une partie quarable de  et  une application continue appelée densité superficielle de la plaque D.

On appelle masse d’une plaque plane  le réel m défini par ,  décrit

Exemple

Calculer la masse d’une plaque plane définie par  et  la densité superficielle.

 

Figure 20

7.2.                    Centre d’inertie d’une plaque plane

Le centre d’inertie d’une plaque plane  de  est le point G de  défini par :

 décrit D et m la masse de .

Exemple

Trouver le centre d'inertie de la plaque précédente.

 

7.3.                    Moment d’inertie d’une plaque plane

Soit H un point ou une droite de ; pour tout point M de , on note  la distance de M à H.

Le moment d’inertie d’un fil  de  par rapport à H est le réel  défini par :

 décrit D .

En particulier :

Le moment d'inertie de  D par rapport à l'axe des x est donné par :

Le moment d'inertie de D par rapport à l'axe des y est donné par :

Enfin le moment d'inertie de D par rapport à l'origine des axes O est donné par :

Exemple

Calculer le moment d’inertie par rapport à x’Ox de la plaque homogène D formée du disque de centre O et de rayon R.

En passant en coodonnées polaires le disque devient :