Chapitre 8

Home
Up
T.D.8
T.D.8 -Download
Ch8 - Download
Ch8 Eng. PDF
T.D.8 Eng.

 

                                 Intégrales triples

Part 1

1  Intégrale Triple

1.1              Définition

Soit f une fonction continue sur une boite rectangulaire B de .

Le volume de B est donné par:

Une partition P de B est déterminée par trois partitions P1, P2, P3 des trois intervalles

 ,  et .

Cette partition partage B en des boites rectangulaires élémentaires S. Comme nous l'avons fait pour une intégrale double, définissons les sommes:

f étant une fonction bornée sur B, elle est dite intégrable s'il existe un nombre et un seul plus grand que toutes les sommes  et plus petit que toutes les sommes . Ce nombre s'il existe est dit "intégrale triple de f sur B" et est noté:

1.2              Propriétés

Des théorèmes similaires à ceux donnant les propriétés des intégrales doubles sont établis:

;              

Si B est une boite rectangulaire et si f est une fonction définie sur B, bornée et continue sauf peut-être sur un nombre fini de surfaces de classe C1, f est intégrable dans B.

Soit A une région bornée de R3 (comprise dans une boite rectangulaire B) et soit f une fonction définie sur A. Nous définissons

Alors

Remarque

On divisera l'espace à trois dimensions en 8 octants. La numérotation est dans le sens direct :

Figure 1

 


1.2.1    Techniques de calcul

Cas d’un pavé droit

Soit   

Þ 

Figure 2

Cas général

Soient une fonction f définie dans un domaine B défini comme suit :

§         a et b deux réels tels que a < b

§         et  deux fonctions définies sur [a, b] telles que

§         et  deux fonctions définies sur  telles que:

alors

 

 

Nous pouvons facilement démontrer que :

  

où D est la projection du domaine B sur le plan xOy.

Figure 3

1.3              Calcul de volume

1.3.1    Domaine quelconque

Lorsque  l'intégrale triple de f sur un domaine D est égale au volume de D.

exemple 1

Calculer le volume du tétraèdre défini par .

Méthode 1

Figure 4

Méthode 2

 

On remarque que  avec  l'aire du triangle découpé  à une hauteur z.

 

1.3.2    Volume de domaines dont la base est une surface connues

 

Le volume d'un solide dont la section entre les un plans z = a et z = b a une aire , est :

exemple

Figure 6

Calculer le volume de la pyramide dont la base est le carré  joignant les points {1,1,1} ; {1,-1,1} ; {-1,-1,1} ;{1,-1,1}

La base se situe à une hauteur z=1 avec une aire = 2´2=4. Si on coupe cette pyramide par un plan parallèle au plan xOy à une hauteru z, la section est aussi un carré de côté 2z et dont l’aire est 

Le volume de la pyramide est donc 

1.3.3    Volume d'un solide de révolution

Le volume d'un solide obtenu en tournant la courbe {z=f(x) a < x < b},  autour de l'axe des x est :

exemple

Le volume obtenu en tournant la courbe  autour de l’axe des x.

 

 

Figure 7

Figure 8

 

2  Coordonnées Cylindriques

Un point M de l'espace à trois dimension défini par ses coordonnées cartésiennes ,  sera défini par des coordonnées cylindriques en posant:

Figure 9

Ces coordonnées sont définies pour:

  

Le jacobien du changement de variable des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques est:

3  Coordonnées Sphériques

Figure 10

Un point M de l'espace à trois dimension défini par ses coordonnées cartésiennes , sera défini par des coordonnées sphériques en posant:

Ces coordonnées sont définies pour:

Le jacobien du changement de variable des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques est:

exemple 3

Calculer le volume compris entre le cône  et la sphère .

solution

Cette sphère est centrée au point  et de rayon ;

 

Figure 11

L'équation de la sphère en coordonnées sphériques est:

D'où

 

Part 2

4  Masse , Centre d’inertie, Moment d’inertie

4.1              Masse d’un solide

On appelle solide tout couple  où S est une partie cubable de  et  une application continue appelée la densité spatiale du solide  .

On appelle masse d’un solide  le réel m défini par , où  décrit S


4.1.1    Exemple

Calculer la masse du solide de densité défini par:

 

Etude du solide ::

§          Þ le cône  est la frontière supérieure

§         Þ la partie du cylindre circulaire de base avec  est la frontière latérale

Figure 12

 

Figure 13

 

Solution

La masse M est donnée par:

Or       

Þ

4.1.2    Exemple

Calculer la masse d’une boule S de centre O et de rayon R, la densité étant définie par 

 

En passant en coordonnées sphériques :

4.2              Centre d’inertie d’un solide

Le centre d’inertie d’un solide  est le point G de  défini par :

 décrit S et m la masse de .


4.2.1    Exemple

Trouver le centre de gravité de l’hémisphère :

de densité constante 1. On vérifie facilement, par symétrie, que .

 

4.2.2    Exemple

Déterminer le centre d’inertie G du solide homogène  où S est la tranche de la sphère centrée à l’origine de rayon 1 définie en coordonnées sphériques par :

Figure 14

A la forme d'une tranche d'orange.

Solution

En appliquant la proportionnalité, la masse m est donnée par :

 

Par raison de symétrie  Puis :

4.3              Moment d’inertie d’un solide

Soit H un point ou une droite ou un plan de ; pour tout point M de , on note  la distance de M à H.

Le moment d’inertie d’un solide  par rapport à H est le réel  défini par :

 décrit S.

En particulier :

Les moments d'inertie d’un solide par rapport aux trois axes de coordonnés sont donnés par: