Chapitre 9

Home
Up
T.D.9
TD9 - Download
Ch9 - Download
Ch9 Eng. PDF
T.D.9 Eng.

 

                           Intégrales de surface

2 Part 1

1. Surface paramétrée - Plan tangent - Vecteur normal.

1.1          Surface paramétrée

Rappelons qu’une courbe parametrée est une application de R dans ou ;

C(t) =(x(t), y(t))  ou  C(t)=(x(t), y(t), z(t)), 

Figure 1

Une surface parametrée est par contre, une application de  dans

X(t, u)=(x(t, u), y(t, u), z(t, u))   (t, u) A .

Figure 2

 

exemple

L’équation de la sphère centrée à l’origine et de rayon est en coordonnées sphériques:

Plan tangent

Considérons une surface S, définie par:

X(t, u)=(x(t, u), y(t, u), z(t, u))   (t, u) A ..

Pour chaque valeur fixée de u, la courbe :

 

est une courbe appartenant à la surface S.

De même pour t fixée, la courbe:

est aussi une courbe de S. Le vecteur

est le vecteur directeur de la tangente à la courbe  et par contre celui de la tangente à la surface S au point X(t, u).

De même le vecteur

 

est le vecteur directeur de la tangente à la courbe  et par contre celui de la tangente à la surface S au même point X(t, u). Nous pouvons énoncer:

Définition

Pour une surface S définie comme ci-dessus, le plan passant par le point X(t, u) et parallèle aux deux vecteurs  et  (lorsqu'il existe) est par définition le plan tangent à la surface S au point (t, u)

1.2          Vecteur normal

Le vecteur normal à la surface S au point X(t, u) est par définition le vecteur normal au plan tangent en ce point.

Le vecteur unitaire de cette normale est  alors:

exemple

Soit la sphère donnée par son équation paramétrique:

 

Nous avons alors:

 

Figure 3

remarque 1

Trouvons la normale à cette sphère à l’aide du gradient. Posons :

Or et (x, y, z) ne sont autre que le rayon vecteur OM.

remarque 2

 étant aussi un vecteur normal à la surface de même direction que le premier, mais dans le sens opposé, nous choisissions pour n le vecteur dirigé vers l’extérieur de la surface. Si le contour de la surface est non fermé,  et si il est parcouru dans le sens direct, n a la direction du bonhomme d’Ampère.

Figure 4

2. Aire d'une surface paramétrée

2.1          Surface paramétrée

Figure 5

Considérons deux vecteurs non nuls et non colinéaires A et B de l’espace. Ces deux vecteurs engendrent un parallélogramme dont la surface est égale à:

   étant l’angle des deux vecteurs.

Or 

Soit la surface parametrée suivante:

X(t, u)=(x(t, u), y(t, u), z(t, u))   (t, u) A R2.

Si A et B sont les tangentes à cette surface en un point    (t, u), alors :

est égale à l’aire du parallélogramme engendré par ;

Ce parallélogramme appartient au plan tangent.

Ajoutons alors la condition suivante:

autrement dit la surface est injective ou dite " surface à deux faces".

Alors si les composantes x(t, u), y(t, u), z(t, u), (t, u) A sont de classe on définit l'aire de la surface S par:

On écrit symboliquement :

exemple

Dans l’espace  la sphère est réduite au plan  qui est une surface à deux faces.

Calculons l’aire d’une sphère de rayon a. Nous savons que :

 

2.2          Surface en coordonnées cartésiennes

Soit la surface donnée en coordonnées cartésiennes par z= f(x, y). Une représentation paramétrique de cette surface peut s'écrire:

X(x, y)=(x, y, f(x, y) )

d’où

 et  

Þ   

exemple 1

Calculer l’aire de la portion de paraboloïde définie par:

En appliquant la formule précèdent, on obtient:

En passant en coordonnées polaires, on obtient:

exemple 2

Calculer l’aire d’une sphère d'équation:

Dans l’espace  la sphère n’est pas une surface à deux faces. Elle en a quatre, deux faces pour  et deux autres pour .

Nous calculerons l’aire de l’hémisphère et nous multiplions le résultat par 2.

; ;

remarque importante

Soit S une surface à deux faces et  sa projection sur le plan xOy. Supposons que l’équation de S soit donnée par :

z= f(x, y)

où f est une fonction continue et bijective. Soit n la normale à la surface en un point :

Figure 6

P= (x, y, f(x, y))

Considérons en ce point une surface élémentaire. On a :

avec coefficient directeur du vecteur normal n:

=>

g étant l’angle que fait la normale à la surface avec l’axe des z, nous pouvons écrire:

On peut donc conclure :

 

Ainsi si nous projetons le domaine sur les plans yOz ou xOz, nous démontrons facilement que:

2.3          Aire d'une surface de révolution.

Soit une courbe plane z= z(x), allant du point  au point  Quand cette courbe tourne autour de l'axe des z, elle décrit une surface S.

Figure 7

Figure 8

 

 

 

 

Chaque point de cette courbe décrit un cercle de périmètre p(x)=2px.

L'aire de cette surface, est donnée par:

ds étant la longueur élémentaire de la courbe z(x). Donc

Enfin

3. Intégrale de surface.

Soit S une surface paramétrée déterminée par sa représentation paramétrique  Soit f  une fonction définie sur S. On définit l'intégrale de surface de f sur S et on note:

Lorsque f=1, l’intégrale de surface de f est l’aire de la surface S.

exemple

Soit S la surface definie par  avec {0 £ x £ 1, -1 £ y £ 1}. Calculer l’intégrale de surface de la fonction f(x, y, z) =x.

Figure 9

 

4. Flux d'un champ de vecteur à travers une surface.

4.1          Définition

Soit S une surface déterminée par sa représentation paramétrique X(t, u). Supposons que S est contenue dans un certain ouvert U de R3. Soit F un champ de vecteurs de R3 défini dans U.

Soit n le vecteur normal à la surface dirigé vers son extérieur. Le produit scalaire F . n est la composante normale du champ F.

On appelle flux du champ F à travers la surface S, la quantité

 

Ce flux est donc égal à:

avec

or

donc

C’est ou selon l'orientation de ce vecteur normal.

remarque

Il n’est pas toujours possible d’orienter la surface de manière à avoir un extérieur et un intérieur. Nous nous limiterons dans ce cours aux cas où cette orientation est possible géométriquement.

exemple 1

Calculer le flux du champ de vecteurs : F(x, y, z) = (x, y, 0)

à travers l’hémisphère

 

Figure 10

exemple 2

Calculer le flux du champ de vecteurs :

à travers la paraboloïde

Figure 11

Paramétrisons cette paraboloïde:

Ce vecteur est dirigé vers l'intérieur de la paraboloïde, nous prenons alors pour vecteur normal:

Ainsi le flux est égal:

Part 2

rappel 1

On appelle divergence d’un champ de vecteurs F de composantes:  le scalaire:

rappel 2

On appelle rotationnel d’un champ de vecteurs U de composantes: le scalaire:

5. Théorème de la divergence ou d'Ostrogradski
ou Théorème de Green dans l’espace

5.1          Premier énoncé

Soit U une région de l'espace R3 formant l'intérieur d'une surface fermée S de classe C1 à l'exception peut-être d'un nombre fini de courbes de classe C1 .

Soit F un champ de vecteurs défini dans un ouvert A contenant S.

Soit n le vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur de S.

Alors le flux du champ F à travers la surface S est donné par:

 

 Figure 12

demonstartion

Soit S une surface fermée telle que toute parallèle à l’un ou à l’autre des axes de coordonnées, coupe S en deux point tout au plus. Considérons le champ de vecteurs

Supposons que les équations des parties inférieures et supérieures soient:  et que D, la projection de la surface sur le plan xOy.

Figure 13

Nous avons alors:

Pour la portion supérieur  la normale à  fait un angle aigu  avec k. 

Þ

Pour la portion inférieur :

Þ

puisque la normale  à  fait un angle obtus  avec k.

Alors:

      (1)

De la même façon, en projetant S sur les autres plans de coordonnées on obtient:

       (2)

        (3)

En additionnant (1), (2) et (3), nous obtenons:

Notons que ce flux peut s’écrire:

exemple 1

Calculer le flux du champ:

sortant à travers le cube de côté 1 (rép. 3)

exemple 2

Calculer le flux du champ:

F(x, y, z) = (x, y, z)

à travers la sphère de rayon 1 centrée à l’origine. (rép. 4p)

5.2          Enoncé général

Soit U une région de l'espace R3 dont la frontière est la réunion d'un nombre fini de surfaces orientées de sorte que U se trouve à l'intérieur (dans le sens opposé à la normale) de chacun d'elle.

Soit F un champ de vecteurs défini dans un ouvert contenant U et S . Soit n le vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur de S. Alors:  

exemple

Soit U la région comprise entre deux sphères concentriques,  et , et soit F un champ de vecteurs vérifiant : div F=0

Alors

Si on change l’orientation de n dans  nous aurons:

D’où le corollaire suivant:

Corollaire

Si S1 et S2 sont deux surfaces fermées telle que S1 est dans l'intérieur de S2 . Si F est un champ vectoriel tel que: divF=0, alors le flux de F à travers S1 est égal au flux de F à travers S2 .

6. Théorème de Stokes

Enoncé

Soit S un domaine superficiel à deux faces, limité par une courbe fermée C.

Orientons C de sorte que S soit située à sa gauche. 

Soit F un champ de vecteurs défini dans un ouvert contenant  S et sa frontière .

Alors :

 

 

Figure 14

 

Demonstration

Soit une surface  “à deux faces”  S donnée par

z = f(x, y)

Supposons que S est comprise à l’intérieur d’un domaine U de l’espace, et que C est sa frontière.

Rappel

La normale à cette surface étant donnée par le gradient de
“z - f(x, y)=0”, on a:

 Þ  et

Comme

 

Þ et 

D’autre part, nous savons que :

  autrement dit

 

Fin du rappel

Considérons alors un champ de vecteurs de classe  défini dans U.

Nous voulons montrer que:

C’est à dire:

Soit D la projection de S sur le plan xOy et L le contour de D.

Calcul de

Posons P =X et Q =0, et appliquons le théorème de Green:

Or

 Þ

Alors

 ;

Þ

Þ

 

Calcul de

Posons Q=Y et P(x, y)=0, et appliquons le théorème de Green:

Or

  Þ

Alors

Þ

Þ

Þ

Calcul de

Posons

 

et appliquons le théorème de Green:

Faisons la somme

c.q.d.f.

exemple

Vérifier le théorème de Stokes pour le champ:

F(x, y, z) = (z - y, x + z, -x - y)

sur le domaine

(rép. 8p)

remarque

Le théorème de Stokes peut être appliqué à une surface contenant plusieurs trous (comme dans le gruyère). L’intégrale de surface de rotF.n, est alors égale à l’intégrale curviligne le long de TOUTES les frontières de S.


 

Part 3

7.  Masse, Centre d’inertie, Moment d’inertie

7.1          Masse d’une plaque gauche

On appelle plaque gauche tout couple où S est une surface de  et  une application continue appelée densité superficielle de la plauqe gauche

On appelle masse d’une plaque gauche  de  le réel m défini par :

où M désigne le point courant de S et dS est l’élément de surface.

7.1.1     Exemple

Calculer la masse de la plauqe gauche  où S est le morceau de cône défini par :

 et

7.2          Centre d’inertie d’une plaque gauche

Le centre d’inertie d’une plaque gauche  est le point G de  défini par :

Pour une plaque gauche homogène, on emploie le terme centre de gravité au lieu de centre d’inertie.

7.2.1     Exemple

Trouver le centre de gravité de l’hémisphère :

de densité constante 1. On vérifie facilement, par symétrie, que .

7.2.2     Exemple

Déterminer le centre de gravité de la plaque homogène  où S est la surface définie par :

Figure 15

On a :

 ;

 Þ

La masse m est donnée :

7.3          Moment d’inertie d’une plaque gauche

Soit H un point ou une droite ou un plan de ; pour tout point M de , on note  la distance de M à H.

Le moment d’inertie d’une plaque gauche  par rapport à H est le réel  défini par :

 décrit S.


7.3.1     Exemple

Calculer le moment d’inertie par rapport à l’axe z’z dela plauqe homogène  où S est la surface définie par

Figure 16