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Animation 1
Animation 2

 

Les vecteurs              

Part 1

 

1.      Trouver A+B, A‑B, 3A, ‑2B dans chacun des cas suivants:

·        A=(2,‑1),   B=(‑1,1)                Þ        A+B = (1, 0)

·        A=(‑1,3),  B=(0,4)                   Þ        A+B = (-1, 7)

·        A= (2,‑1,5), B=(‑1,1,1)           Þ        A+B = (1, 0, 6)

·        A=(p,3,‑1),B=(2p,‑3,7)          Þ        A+B = (3p, 0, 6)

1.      Déterminer les vecteurs liés PQ et AB équivalents et  parallèles

·        P = (1, ‑1),   Q = (4, 3),     A = (‑1, 5),    B = (5, 2)

i)        PQ = (3, 4) ;  AB = (6, -3) = 3 (2, -1)       Þ Rien

·        P = (1, 4) ,  Q = (‑3, 5) ;    A = (5, 7),   B = (9, 6) 

i)        PQ = (- 4, 1) ;  AB = (4, -1) Þ AB = - PQ           Þ ce sont 2 vecteurs parallèles

·        P = (1, ‑1, 5), Q = (‑2, 3, ‑4), A = (3, 1, 1), B = (0, 5, 1)

i)        PQ = (-3, 4, -9) ; AB = (-3, 4, 0)   Þ Rien

·        P = (1, 2, 4),  Q = (‑1, 3, 5),  A = (2, 3, 4), B = (0, 4, 5)

i)        PQ = (-2, 1, 1) ; AB = (-2, 1, 1) Þ ce sont 2 vecteurs équivalents

2.      Calculer, , , lorsque :

·        A = (2, ‑1, 3),  B = (‑1, 1, 1)

·        Dites s'ils sont perpendiculaires?

i)         Þ ils sont perpendiculaires

ii)        ;

iii)      Þ

iv)      Þ

3.      Montrer que si le vecteur A est perpendiculaire à tout autre vecteur X, alors A=0

·         Þ  et ceci pout tout i.

4.      Trouver dans chacun des cas suivants la norme de A, la projection de A sur B, le cosinus de leur angle:

·        A=(1,‑2),     B=(5,3)

i)         ;

ii)      

iii)     Þ

·        A= (‑2,1,4), B=(‑1,‑1,3)

i)         ;  ;  ;

·        A=(‑1,1,0),  B=(2,1,‑1)     

i)         ;  ;  ;

·        A=(1, ‑2, 3), B=(‑3, 1, 5).

i)         ;  ;  ;

5.      Déterminer les angles du triangle:   (2,‑1,1), (1,‑3,‑5), (3,‑4,‑4)

·        Þ

·        Þ

·        Þ

·        On vérifie que la somme des angles est bien égale à 180 degrés

6.      Prouver que:

·       

i)       

ii)      

iii)    

iv)    

 

7.      Montrer par un contre exemple que si A.B = A.C, B n'est pas  nécessairement égal à C.

·        , ,

·         

8.      Ecrire une représentation paramétrique des lignes passant par les points suivants:

·        P=(1,3,‑1), Q=(‑4,1,2) Þ

·        P=(‑1,5,3), Q=(‑2,4,7) Þ

·        P=(1,1,‑1), Q=(‑2,1,3) Þ

·        P=(‑1,5,2), Q=(3,‑4,1) Þ

9.       Trouver l'équation du plan passant par le point P et perpendiculaire au vecteur N lorsque: 

·        N=(1,-1,3)    et   P=(4,2,-1) Þ

·        N=(-3,-2,4)   et   P=(2,p,-5) Þ  

·        N=(-1,0,5)    et    P=(2,3,7)  Þ

·        N=(1,1,1)    et    P=(1,1,1)  Þ

 

10.    Trouver l'équation de la droite passant par (-5,3) et perpendiculaire au vecteur       (1,-1)

·         ;  

11.    Trouver la distance entre le point (1,1,2) et le plan 3x + y  - 5z = 2,  écrire la formule générale donnant cette distance.

Corrigé

·        La normale au plan est :  

·        L’équation de la normale au plan passant par P est donnée par :

·        Le point I d’intersection de cette normale avec le plan vérifie l’équation du plan et celui de la normale :

i)        Þ

ii)      

·        La distance demandée est

Part 2

 

12.    Trouver le vecteur vitesse des courbes suivantes:

·        Voir si le vecteur accélération est perpendiculaire au vecteur vitesse.

·       

i)         Þ

ii)      

·       

i)         Þ

ii)      

·       

i)         Þ

ii)