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Fonctions de plusieurs variables

1.      Les fonctions suivantes ont-elles une limite lorsque (x, y) tends vers (0,0)?

Corrigé 1

·       

On remarque que le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur. En principe je ne dois pas avoir de limite. Je pose alors :

 

Cette limite n’existe pas puisquelle dépend de m.

Si m=1, elle est égale à 0.              Si m=0 elle est égale à 1

 

·       

Ici le degré du numérateur est plus petit que celui du dénominateur. En principe je ne dois pas avoir de limite. Je passe en coordonnées polaire.  et

Cette limite n’existe pas

·       

Ici le degré du numérateur est plus grand que celui du dénominateur. En principe je dois pas avoir de limite. Je passe en coordonnées polaire.  et

Cette limite existe.

·       

Ici le degré du numérateur est plus grand que celui du dénominateur. En principe je dois pas avoir de limite. Je passe en coordonnées polaire.  et

Cette limite existe et est égale à 0.

·       

N’a pas de limite

-

2.      Soit la fonction . Etudier la limite de f(x,y) au point (0, 0) quand (x,y) parcourt d’abord :

a)         Une droite passant par l’origine y = tx, (t fixé)

b)        La parabole

c)         Que peut-on conclure?

Corrigé 2

·        Une droite passant par l’origine y = tx

·        La parabole

·        Que peut-on conclure?

La limite n’existe pas puisqu’elle dépend du chemin suivi pour tendre vers (0, 0)

-

 

3.      Etudier la continuité au point (0,0) des fonctions suivantes:

a)        

b)       

Corrigé 3

·       

La fonction n’est pas continue au point  puisque

·       

La fonction est continue au point  puisque

-

4.      Soit . Calculer les limites suivantes:

a)         ;        b)  ;    c).

Corrigé 4

·       

·       

·       

Cette limite n’existe pas puisque la limite suivant deux chemins différents n’est pas la même. En effet :

Cette limite n’existe pas puisqu’elle dépend du chemin suivi pour atteindre le point (0,0)

-

5.      Calculer les dérivées partielles, premières et secondes, des fonctions :

Corrigé 5

·       

·       

·        etc..

-

6.      Soit la fonction f définie par:

a)         Calculer

b)        Que peut-on déduire?

c)         f est-elle différentiable au point (0,0)?

Corrigé 6

·        Calculer

-

7.      Soit . Supposons que la fonction g est différentiable en et h différentiable en. Montrer d'après la définition que la fonction f est différentiable en  

Corrigé 7

·        g différentiable en Þ

·        h différentiable en Þ

·       

·        En posant  on aurait démontrer la différentiabilité de f au point .

 

-