T.D.3

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Derivée d'une fonction composée

 

1.       Soit f une fonction vérifiant . Soit
Calculer  en

Corrigé 1

Þ  Þ

Þ

-

2.                   Considérons les coordonnées polaires: x=rcos   y= rsin .

a)      Calculer:   

b)      Montrer en utilisant un changement en coordonnées polaires que toute fonction dérivable f des deux variables x et y, vérifiant l'identité:

se réduit à une fonction de .

Corrigé 2

·        , Þ ,

·        ;  ;  ;

·        Considérons

o      

o      

o      

o       Þ

f est fonction de  seulement c'est-à-dire

-

 

3.                  Si U = f(x- y, y- x), Montrer que: 

Corrigé 3

·        Posons  et

·       

·       

-

4.                   Soit la fonction U définie par  Montrer que : 

Corrigé 4

·        Posons  et

·        ; ;

·         ;   

·       

·       

·       

-

 

5.                  Soit g(x, y )= f(x+ y, x- y), où f est une fonction différentiable de deux variables u et v.  Montrer que:

Corrigé 5

·         Posons  et

·        

·        

·        

-

6.                  A l'aide du changement de variable défini par u=xy et v=x/y, déterminer les fonctions z(x, y) satisfaisant :  

(Final 87-88, 6pts)

Corrigé 6

·        ;

·       

·       

·       

·       

·       

-

7.                   Déterminer toutes les fonctions de classe C2 de   dans  telles que:

On pourra utiliser le changement de variables v= x/y;   u= xy

 (Final 88-89,10 pts)

Corrigé 7

·         ;

·       

·        Posons : 

·          Þ

o      

o      

o      

D’après le théorème de Schwartz puisque f est de classe C2 Þ

o      

·         Þ

o      

o      

o      

·         

o      

o       Posons  

o      

o      

-

8.                  Le Laplacien dune fonction est défini par . Une fonction est dite harmonique si son Laplacien est nul

a)      Montrer que le Laplacien d'une fonction à deux variables s'écrit en coordonnées polaires:

b)      Trouver la fonction harmonique la plus générale quand u est fonction de r seulement.

c)      Même question si  , n étant un entier naturel.

(Partiel 87-88, 28pts)

Corrigé 8

·      ,     ;

·      ;            

·       ;                     

 

·       

·       

·       

·       

·       

·       

·       


 

·       

·       

·       

·       

·       

-

TD 3 Plan Tangent – Dérivée directionnelle

1.      Soit  et .

 Calculer :

a)     La dérivée directionnelle de f au point P dans la direction A=(1, 2, 2)

b)     Le maximum et le minimum de la dérivée directionnelle de f au point P.

Corrigé 1

a)    

Þ Þ

Þ

b)          Þ

-

2.      Trouver la dérivée directionnelle pour les données suivantes :

a)      ;            P = (1,1) ;      u = (2,1)

b)      ;   P = (-1,1,7) ; u = (3,4,-12)

c)      ;       P = (2,1) dans la direction de la dérivée 

      directionnelle maximu,.

Corrigé 2

a)      ;            P = (1,1) ;      u = (2,1)

Þ Þ

Þ  

 

 

 

 

b)      ;   P = (-1,1,7) ; u = (3,4,-12)

Þ Þ

Þ

c)      ;       P = (2,1) 

Þ 

Þ 

-

3.      Une distribution de la température est donnée par :

Trouver la direction où la dérivée directionnelle est maximum au point :

Corrigé 3

-

4.      Soit la fonction  

Corrigé 4

d)     Trouver la dérivée directionnelle de f dans la direction de u=(2, -1) au point P=(1, 1)

Þ Þ

Þ

 

e)      Trouver la dérivée directionnelle maximale.

-

5.      Considérons une fonction f, différentiable dans un ensemble ouvert U. 

       Supposons que P est un point de U tel que f(P) est le maximum.de f  

c'est-à-dire :

Montrer que

Corrigé 5

Si  Þ  ceci est vrai pour C(t)=P+tA où  un vecteur unitaire quelconque.

Þ  

Þ Comme est une courbe qui passe par  son maximum est atteint pour  

Þ Or

Þ Puisque ceci est vrai pout tout A

Þ