Fonctions Potentielles                 

1.      Trouver les fonctions potentielles des champs vectoriels suivants:

Corrigé 1

a)    Posons :

Þ (P, Q) est défini dans R²qui est connexe.

Þ ;  Þ

Þ (P, Q) est fermée donc exacte

Þ Þ

Þ

Þ

Þ

b)    Posons

Þ (P, Q) est défini dans R² qui est connexe.

Þ ;

Þ  

Þ (P, Q) est fermée donc exacte

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

c)    Posons

Þ (P, Q) est défini dans R² qui est connexe.

Þ ;  Þ

Þ (P, Q) est fermée donc exacte

Þ Þ

Þ

Þ

Þ

d)    Posons

Þ (P, Q) est défini dans R² qui est connexe.

Þ ;  Þ

Þ (P, Q) est fermée donc exacte

Þ Þ

Þ

Þ

Þ

2.      Trouver la fonction potentielle j (x, y) associée au champ vectoriel:

 et vérifiant

Corrigé 2

Posons :

Þ (P, Q) est défini dans R² qui est connexe.

Þ ;  Þ

Þ (P, Q) est fermée donc exacte

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

3.      Quel est le gradient de définie sur un rectangle ne contenant pas la droite x=0

Corrigé 3

La fonction est définie et continue dans ce rectangle qui est connexe.

4.      Trouver une fonction potentielle j associée au champ de vecteurs suivant:

  avec j(1,1,1)=4.

Corrigé 4

Posons

Þ (P, Q, R) est défini dans R³ qui est connexe.

Þ ;              Þ

Þ  ;      Þ

Þ  ;          Þ

Þ (P, Q, R) est fermée donc exacte

Þ Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ  Þ

Þ

Þ

5.      On considère la forme différentielle:

définie sur un ouvert de ne contenant pas le point (0,0)

Corrigé 5

a)    Montrer en passant en coordonnées polaires que est la différentielle totale d’une fonction

Posons

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ Þ Posons

Þ

Þ  

Þ

Þ

Þ

Þ

b)   Donner l’équation des courbes U = Constante

 

Þ

Þ

Ce sont donc les courbes :

Þ  et

6.      f, g étant deux fonctions numériques de classe C¹  de R dans R. Déterminer f et g pour que la forme différentielle :     

soit exacte,  puis déterminer une fonction F(x, y, z) telle que  U = dF.

Corrigé 6

Posons

Þ ;              Þ

Þ  ;          Þ

Þ  ; Þ  Þ

Posons  Þ  

Þ

On vérifiera que

Þ

est une fonction potentielle de w.

7.      On pose

Montrer que le champ de vecteurs de composantes P et Q, est le gradient d'une fonction que l'on précisera.

Corrigé 7

Þ

Þ  

Þ  

Þ le champ de vecteurs de composantes P et Q dérive d’un potentiel scalaire dans tout connexe ne coupant pas la droite y = -x

Þ

Þ

Þ

Þ

8.      Les formes différentielles suivantes ne sont pas fermées. Chercher un facteur intégrant  tel que la forme  soit fermée. Calculer alors les primitives de ce produit :

Corrigé 8

a)      ne dépendant que de x.

Cas où

Posons

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

On vérifiera que

Þ

est une fonction potentielle de w.

b)      ne dépendant que de y.

 Cas où

Posons

Þ

Þ

Þ Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ