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Intégrale curviligne.                    

1.      Calculer les intégrales curvilignes des fonctions suivantes sur  les chemins indiqués:

Corrigé 1

a)       le long de  de (0,0) à (1,2)

Þ  Þ

Þ

Þ

 

-

b)      le long de l'arc du cercle de (0,2) à (2,0) dans le sens des aiguilles d'une montre.

Þ  Þ

Þ

Þ

Þ

En effet :

----------

On peut démontrer que pour tout

 ;           

 ;            

A+B Þ

A-B Þ

-

c)      le long du chemin fermé formé par la droite x=1 et la parabole  dans le sens trigonométrique.

Þ  avec 

Þ

Þ

Þ

Þ 

Þ

-

d)      le long de y= x² de (-2,4) à (1,1)

Þ

-

e)      F(x, y, z)= (x, y, xz- y) le long du segment  (0, 0, 0), (1, 2, 4)

Þ  Þ

Þ

Þ

-

2.      Même question pour le champ:

Corrigé 2

a)      dans le sens trigonométrique le long du cercle  de  (1,1) à

-

b)     le long du cercle en entier.

-

c)      le long du cercle

-

d)     Vérifier que: 

-

3.      Calculer l'intégrale curviligne de (x y, y) le long de  du  point (2, -1) au point (8, 2).

Corrigé 3

-

4.      Même question pour (2xy,-3xy) le long du carré dont les arêtes  sont: x =3, x =5, y=1, y=3.

Corrigé 4

-

5.      Calculer l'intégrale du champ vectoriel F(x, y, z) = (2x, 3y, 4z) le  long de la droite

C(t) = (t, t, t) entre (0,0,0) et (1, 1, 1).

Corrigé 5

Þ  Þ

Þ

Þ

-

6.      Même question pour le champ F(x, y, z) = (y+ z, x+ z, x+ y).

Corrigé 6

Þ  Þ

Þ  Þ

-

7.      Calculer l'intégrale de champ du numéro 6, le long de  , les points étant les mêmes. Que peut-on déduire?

Corrigé 7

Þ  Þ

Þ

Þ

On peut penser alors à un champs conservatif c'est-à-dire qui ne dépend pas du chemin suivi pour aller d’un point à un autre. Pour le vérifier il suffit de vérifier :

·        que le rotationnel de ce champ est le vecteur nul

·        que le domaine de définition du champ est connexe ici c’est

-

8.      Soient P,Q deux points de l'espace à trois dimensions. Montrer que  l'intégrale du champ,  entre P et Q est  indépendante du chemin suivi.

Corrigé 8

·       

·        le domaine de définition du champ est

-

9.      Soit  Calculer l'intégrale de F le long de   entre (1,0) et .  

Corrigé 9

 

Þ  Þ

Þ

Þ

-

 

10.  Calculer l'intégrale du champ:

 

Corrigé 10

a)      le long  du cercle de rayon 1 dans le sens trigonométrique entre (1,0) et  (0,1).

Þ  Þ

Þ

Þ

-

b)     le long  du cercle entier .

Þ

-

11.  Soit  

Corrigé 11

a)      Calculer l'intégrale de ce champ le long du cercle de rayon 1 centré  à l'origine dans le sens contraire aux aiguilles d'une montre.

Posons

Nous savons que

Þ

Þ  

-

b)     Ce champ admet-il une fonction potentielle?.

 

Þ Non puisque son intégrale le long d’une courbe fermée n’est pas nulle.

-

12.  Soit  

Corrigé 12

a)      Peut on dire que F(x, y) admet une fonction potentielle dans le  rectangle défini par: 1£x £ 2, et 1 £y £ 2 ?. Pourquoi?.

Nous savons déjà que le champ G dérive d’un potentiel dans tout connexe ne contenant pas le point (0 ,0), or ce rectangle ne contient pas ce point.

Posons  Þ  

Þ Le champ H dérive aussi d’un potentiel dans ce rectangle.

Þ Le champ F dérive aussi d’un potentiel dans ce rectangle.

-

b)     Trouver l'intégrale de F sur le cercle centré à l'origine de  rayon 1 orienté dans le sens direct ( positif , contraire aux  aiguilles d'une montre).

Þ Nous savons déjà que

Þ Pour le champ H

Þ  Þ

Þ       

Þ

-

 

13.  Soit les 4 points, A(2,0); B(1,1); C(1,0); D(0,-1). Gest la  juxtaposition de l'arc AB du cercle de centre C et des segments  orientés BD, DO, OA. Calculer l'intégrale curviligne:

Indications : On remarque qu'une partie de l'élément différentiel admet une fonction potentielle.

Corrigé 13

 

Posons  et

Þ  ;

Þ Posons  et

Þ Le champ  dérive visiblement d’un potentiel, son intégrale le long de la courbe fermée  est nulle. Il este à calculer

Þ

Calcul de

Equation de l’arc AB :

Þ

Þ

Þ

Þ

Calcul de

Equation du segment BD :

Þ

Þ

Þ

Calcul de

Equation du segment DO :

Þ

Þ

Calcul de

On trouve de même  :

Calcul de

-

 

14.  On considère le champ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) tel que :

;  

·        Déterminer Q(x, y) pour que F(x, y) soit un champ de gradient.

·        En déduire  l'intégrale curviligne de F(x, y) sur une courbe joignant le point  (1,1) au point (x, y)

Corrigé 14

·         

Þ

Þ

Þ  

Þ

·        Posons :

Þ

Þ

Þ

En faisant une intégration par partie :

-

15.  Calculer l'intégrale de  sur :

L’ellipse  

Corrigé 15

L’équation réduite de l’ellipse est :

Nous voulons transformer l’ellipse en un cercle.

·        Si nous posons :

l’ellipse est alors transformée en un cercle C((0,0),1).

·        Si nous posons :

l’ellipse est alors transformée en un cercle C((1,0),1).

Méthode 1

 

 ;


Méthode 2

Ecrivons l’équation de ce cercle en coordonnées polaires :

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

-----------

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

-----------

-