1.
Calculer les intégrales curvilignes
des fonctions suivantes sur les chemins indiqués:
Corrigé 1
a)
le
long de
de
(0,0) à (1,2)
Þ 
Þ
Þ 
Þ
b)
le
long de l'arc du cercle
de (0,2) à (2,0) dans le sens des aiguilles d'une montre.
Þ 
Þ
Þ 
Þ 
Þ 
En effet :
----------
On peut démontrer que pour tout
;
;
A+B Þ
A-B Þ
c)
le
long du chemin fermé formé par la droite x=1 et la parabole 
dans le
sens trigonométrique.
Þ avec
Þ 
Þ 
Þ 
Þ 
Þ 
d)
le
long de y= x² de (-2,4) à (1,1)
Þ
e)
F(x, y, z)= (x, y, xz- y) le long du
segment (0, 0, 0), (1, 2, 4)
Þ 
Þ
Þ 
Þ
2.
Même question pour le champ:
Corrigé 2
a)
dans le sens trigonométrique le long
du cercle 
de
(1,1) à
b)
le long du cercle en entier.
c)
le long du cercle
d)
Vérifier que: 
3.
Calculer l'intégrale curviligne de (x
y, y) le long de 
du point (2, -1) au point (8, 2).
Corrigé 3
4.
Même question pour (2xy,-3xy) le long
du carré dont les arêtes sont: x =3, x =5, y=1, y=3.
Corrigé 4
5.
Calculer l'intégrale du champ
vectoriel F(x, y, z) = (2x, 3y, 4z) le long de la droite
C(t) = (t, t, t) entre (0,0,0) et (1, 1,
1).
Corrigé 5
Þ 
Þ
Þ 
Þ 
6.
Même question pour le champ F(x, y,
z) = (y+ z, x+ z, x+ y).
Corrigé 6
Þ Þ
Þ 
Þ
7.
Calculer l'intégrale de champ du
numéro 6, le long de
, les points étant les mêmes. Que peut-on déduire?
Corrigé 7
Þ 
Þ
Þ 
Þ 
On peut penser alors à un champs conservatif
c'est-à-dire qui ne dépend pas du chemin suivi pour aller d’un point à un
autre. Pour le vérifier il suffit de vérifier :
·
que le rotationnel de ce champ est le
vecteur nul 
·
que le domaine de définition du champ
est connexe ici c’est 
8.
Soient P,Q deux points de l'espace à
trois dimensions. Montrer que l'intégrale du champ, 
entre P et Q
est indépendante du chemin suivi.
Corrigé 8
·
·
le domaine de définition du champ est
9.
Soit 
Calculer
l'intégrale de F le long de
entre (1,0) et
.
Corrigé 9
Þ
Þ
Þ 
Þ
10. Calculer l'intégrale du champ:
Corrigé 10
a)
le long du cercle de rayon 1 dans le sens trigonométrique entre (1,0) et
(0,1).
Þ
Þ
Þ 
Þ 
b)
le long du cercle entier .
Þ 
11. Soit 
Corrigé 11
a)
Calculer l'intégrale de ce champ le
long du cercle de rayon 1 centré à l'origine dans le sens contraire aux
aiguilles d'une montre.
Posons 
Nous savons que
Þ 
Þ
b)
Ce champ admet-il une fonction
potentielle?.
Þ Non puisque son
intégrale le long d’une courbe fermée n’est pas nulle.
12. Soit 
Corrigé 12
a)
Peut on dire que F(x, y) admet une
fonction potentielle dans le rectangle défini par: 1£x £ 2, et 1 £y £ 2 ?. Pourquoi?.
Nous savons déjà
que le champ G dérive d’un potentiel dans tout connexe ne contenant pas le
point (0 ,0), or ce rectangle ne contient pas ce point.
Posons
Þ
Þ Le champ H dérive aussi d’un potentiel dans ce
rectangle.
Þ Le champ F dérive aussi d’un potentiel dans ce
rectangle.
b)
Trouver l'intégrale de F sur le
cercle centré à l'origine de rayon 1 orienté dans le sens direct ( positif ,
contraire aux aiguilles d'une montre).
Þ Nous savons déjà que
Þ Pour le champ H
Þ
Þ
Þ
Þ 
13. Soit les 4 points, A(2,0); B(1,1); C(1,0); D(0,-1). Gest la juxtaposition
de l'arc AB du cercle de centre C et des segments orientés BD, DO, OA.
Calculer l'intégrale curviligne:
Indications : On remarque qu'une partie
de l'élément différentiel admet une fonction potentielle.
Corrigé 13
Posons
et
Þ 
;
Þ
Posons
et
Þ Le champ 
dérive visiblement d’un potentiel,
son intégrale le long de la courbe fermée
est nulle. Il este à calculer
Þ 
Calcul de 
Equation de l’arc
AB :
Þ 
Þ 
Þ 
Þ 
Calcul de 
Equation du
segment BD :
Þ 
Þ 
Þ 
Calcul de 
Equation du
segment DO :
Þ 
Þ 
Calcul de 
On trouve de même
:
Calcul de
14. On considère le champ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) tel
que :
;
·
Déterminer Q(x, y) pour que F(x, y)
soit un champ de gradient.
·
En déduire l'intégrale curviligne de
F(x, y) sur une courbe joignant le point (1,1) au point (x, y)
Corrigé 14
·
Þ 
Þ 
Þ 
Þ
·
Posons :
Þ 
Þ 
Þ 
En faisant une intégration par partie :
15. Calculer l'intégrale de
sur :
L’ellipse 
Corrigé 15
L’équation réduite de l’ellipse est :
Nous voulons transformer l’ellipse en un
cercle.
·
Si nous posons :
l’ellipse est
alors transformée en un cercle C((0,0),1).
·
Si nous posons :
l’ellipse est
alors transformée en un cercle C((1,0),1).
Méthode 1
;
Méthode 2
Ecrivons l’équation de ce cercle en
coordonnées polaires :
Þ 
Þ 
Þ
Þ
Þ
Þ 
-----------
Þ 
Þ 
Þ 
Þ 
Þ 
-----------
