T.D.6

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1.       Calculer les intégrales doubles suivantes:

a)       où D={ (x,y) /  x 0,  y 0, x + y 1 }

Corrigé

Cette intégrale peut être interprétée comme un volume.

b)       où D est le triangle de sommets: O(0.0), A(1,1), B(2,0)

Cette intégrale peut être interprétée comme un volume.

 


 

c)        où D est défini par:

 

d)       où D est défini par x 1, y 1, x+y 3.

Cette intégrale peut être interprétée comme un volume.

 


 

2.       Calculer les intégrales suivantes:

i)        avec D défini par: 0 < x < 2 et -2 < y < 2

Cette intégrale peut être interprétée comme un volume.

ii)       avec D défini par:  

Méthode 1

La droite  est un axe de symétrie pour le domaine. En plus si  son symétrique P’ par rapport à la droite  a pour coordonnées :

Comme  Þ

Þ

Méthode 2


 

b)         où D est le disque ouvert

Cette intégrale peut être interprétée comme un volume.

 

3.       Soit D l'ensemble des couples (x, y) vérifiant :

             ;;  y>0   Calculer   

 

Cette intégrale peut être interprétée comme un volume.

 

 

4.       Calculer l'intégrale  

a)      directement  

 

b)      En utilisant les courbes de niveau.

 

 


 

5.       Calculer l'intégrale :

Intrsection de  et de

Þ La valeur est à rejetter Þ

Intrsection de  et de

Þ La valeur est à rejetter Þ

 


 

 

6.       Calculer à l'aide d'une intégrale double, le volume du domaine  limité par les surfaces:  ;  ; z = 0

 

7.       Soit P le pavé: 0 x 1, 0 y 1. Calculer sur P l'intégrale  double de la fonction   

Cette intégrale peut être interprétée comme un volume.

 

 

8.       Calculer les intégrales doubles des fonctions suivantes:

a)       sur le domaine  de défini  par:

 

 

 

b)       sur le domaine  de R² défini  par la courbe y = sin x  pour  0 x . 

 

 

 

c)      sur le domaine de R² défini par les inégalités:  0 x 1  

 

 

        

 

9.       Calculer l'intégrale double de la fonction  sur le domaine compris entre les cercles centrés  à l'origine et de rayons respectifs a et b tel que :
    0 <  a  < b.

 

10.   Calculer le volume cylindrique ayant pour section le cercle de  rayon 1, centré à l'origine, et borné d'en haut et d'en bas par la  sphère de rayon 2, centrée à l'origine.

 


 

 

11.   Soit (a,b)ÎR² . Calculer f(a, b) lorsque :  

Dans le cas où a > b :

 


 

12.   Soient a et b deux nombres réels tels que: 0 < a < b. Soit:

On effectue le changement de variables :

.

On admet  que le produit des jacobiens: 

.

Calculer:

 (rép. )

Þ