T.D. 7 – Théorème de Green

1.      Utiliser le théorème de Green pour calculer l'intégrale:

où C est la courbe suivante:

Corrigé 1

a)     le carré de sommets: (0,0), (2,0), (2,2), (0,2)

Le carré est une courbe fermée et les composantes  et  sont de classe C¹ à l’interieur du carré. On peut donc appliquer le Théorème de Green. Notons A l’intérieur de ce carré.

b)     le cercle de rayon 1 centré à l'origine.

Pour les mêmes raisons que précédement on peut appliquer le théorème de Green.

2.      Utiliser la formule de Green pour calculer l'intégrale:

dans le sens direct sur le triangle de sommets: (0,0), (0,1), (1,0).

Corrigé 2

Le triangle est une courbe fermée et les composantes  et  sont de classe C¹ sur le triangle. On peut donc appliquer le Théorème de Green. Notons A l’intérieur de ce triangle.

3.      Soit C la courbe définie par: y = sin x et y = sin 2x, pour 0 < x</3,  et orientée dans le sens direct. Calculer:

Corrigé 3

Figure 1A changer le sens des arrow

a)     Directement

Þ

                      Þ

b)     en utilisant la formule de Green.    

Pour les mêmes raisons que précédement on peut appliquer le théorème de Green.

Þ

4.      Calculer l'intégrale: 

 

sur les chemins suivants:                     

Corrigé 4

a)     les droites joignants les points: (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)            

 

 

Pour les mêmes raisons que précédement on peut appliquer le théorème de Green.

b)     les droites joignants les points: (0,0),(1,1),(1,0)

Si C est la courbe joignant ces segments, l’orientation (0,0)®(1,1)®(1,0)®(0,0) est dans le sens indirect. Pour appliquer la formule de Green il faut adopter l’orientation inverse.

           

5.      Soit C une courbe fermée orientée directement. Soit  A son  intérieur . Montrer que:

Corrigé 5

a)  

b)  

c)    si  est définie en coordonnées polaires par  alors :

d)   En déduire l'aire de la boucle de la strophoïde droite :

 avec  

6.       Soit f une fonction harmonique c.à.d. dont le Laplacien est nul. Montrer que si A est l'intérieur d'une courbe fermée C on a :

Corrigé 6

Une fonction harmonique est une fonction de classe C¹. A l'intérieur d'une courbe fermée C on peut lui appliquer le théorème de Green.

f harmonique Þ

En posant  et

 

7.       Calculer l'intégrale:

où C est l'un des chemins suivants:

 

Corrigé 7

a)     la courbe formée par et x = 2 orientée directement.

Soit A l’intérieur de la courbe C. Comme le point (0,0) appartient à A  on  ne peut appliquer le théorème de Green. On considère pour cela A duquel on enlève le disque centré à l’origine et de rayon 1.

Posons  et

b)     le carré dont les sommets sont: (1.0), (0,1), (‑1,0), (0,‑1), orienté directement.

Pour les mêmes raisons que précédemment                            

 

8.      Soit F(x,y)=(y,-x). Soit C le cercle de rayon 1 centré à l'origine, orienté directement. Montrer que:

Corrigé 8

Nous savons que

Or

9.       Calculer le volume limité par le plan des (x,y), la paraboloïde elliptique:

Corrigé 9

Par un calcul direct d'intégrale double.

 avec

On fait un changement en coordonnées elliptiques :

Þ  

avec

Þ

En appliquant la formule de Green.(Ce qui peut se faire de plusieurs façons).

En posant  et

10. Calculer l'intégrale curviligne:

où C est la courbe fermée définie par :y = x² et x = y².

Corrigé 10

a)     Directement.

b)     En appliquant la formule de Green (les conditions de ce théorème étant évidement vérifiées)

11. Soit les intégrales : 

a)     Montrer que:   et

Þ

Þ

Þ  c.q.f.d.

On procède de la même manière pour J(n).

b)     En déduire les valeurs de I(n) et J(n) pour tout n de l'ensemble
{0, 2, 4, 6, 8}.

;       Þ

Þ  Þ

Þ etc.

 

c)      Soit D le domaine du plan défini par :  

 

i)        Calculer  

ii)       Calculer l'intégrale curviligne:  le long de la courbe C limitant D.

 Þ

 Þ

iii)     En appliquant la formule de Green nous retrouvons

 

Centre d’inertie d’une plaque plane

Le centre d’inertie d’une plaque plane  de  est le point G de  défini par :

où  décrit D et m la masse de .

Exemple

Dterminer le centre d’inertie G de la plaque homogène de  limitée par l’axe x’Ox et l’arche de cycloïde définie par

En utilisant la formule de Green dans les calculs :

Par raison de symétrie