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Part 1
1.
Chercher le volume du domaine limité
par dessus par la sphère Corrigé 1
En posant
 2. Calculer les intégrales triples suivantes:
Corrigé 2
3. Calculer
a)
Le volume de l’ellipsoïde définie par
b)
Corrigé 3
a) Utilisions les coordonnées elliptiques à savoir :
Le jacobien de la transformation est
Le volune est donc
Þ
b) Posons
Þ
Þ
4.
Calculer
le volume du domaine D limité par:
Corrigé 4
5. Calculer le volume de l'ensemble D limité par les surfaces:
Corrigé 5
Graphe
6.
On désigne par D la portion commune à:
Calculer l'intégrale:
Corrigé 6
7. Calculer le volume de la région limitée par:
Corrigé 7
8. Soit A la région bornée par les surfaces suivantes:
{y = 1, y = ‑x, x = 0, z =
0 et z = ‑x.} . Calculer:
Corrigé 8
9. Calculer, en utilisant les coordonnées sphériques, le volume intérieur au cône:
Corrigé 9
10.
Soit A la région comprise entre deux
sphères concentriques centrées à l'origine de rayons respectifs
a et 1
avec 0 < a < 1. Trouver l'intégrale triple de la fonction:
Corrigé 10
En utilisant les surfaces de niveux :
11.
Calculer l'intégrale triple de
Corrigé 11
12.
Calculer le volume de la région bornée
par : Corrigé 12
13.
Calculer, en utilisant les coordonnées
cylindriques, le volume de la partie de la sphère
Corrigé 13
14. Calculer le volume de la région bornée par le cylindre r² = 16, et par les plans: z = 0, et y = 2z. Corrigé 14
15.
Soit
Corrigé 15
16. Calculer le volume limité par une sphère (S) et deux plans dont l'intersection est tangente à (S). Corrigé 16
On adoptera pour l’ axe des z l’intersection des deux plans, pour l’axe des y la droite portant le diamètre perpendiculaire à cette intersection au point O et pour axe des x la 2ème tngente à la sphère menée par O.
§ L’équation cartésienne de cette sphère est
Þ
§ Le volume est donné par : Þ
Þ
Þ
Þ
§
On peut vérifier les calculs en
prenant Þ
17.
Calculer le volume du domaine de
Corrigé 17
Utilisions les coordonnées elliptiques:
Le jacobien de la transformation est
La surface est devenu ainsi : Méthode 1 : Volume d'un triangle sphèique + le volume du cone
Utilisons les coordonnées sphériques :
Equation du plan z = h en coordonnées sphériques
Volume du triangle sphèique
Volume du 2 cônes,
VérificationLorsque
Méthode 1 : Volume de la sphère - le volume de 2 calottes
VérificationLorsque
Part 2
18. Calculer la masse de la boule sphérique de rayon a>0, si la densité en tout point est égale à une constante k multipliée par la distance de ce point au centre. Corrigé 18
En passant en coordonnées sphériques :
L'intégrale est à variables séparées :
19. Déterminer le moment d’inertie: a) d'un cône circulaire de hauteur h, de rayon de base a et de densité constante d, par rapport au diamètre de base.
b) d'un cylindre circulaire homogène de hauteur h et de rayon de base a par rapport à l'axe servant de diamètre à la base du cylindre. Corrigé 19Partie a) L'équation
de ce cône est donné par : L'équation
de la projection du cône sur le plan xoy est celui du disque de la base :
Nous supposerons que le diamètre en question est porté par l'axe des x.
Nous utiliserons les coordonnées cylindriques :
Partie b) Nous supposerons toujours que le diamètre en question est porté par l'axe des x. A cause de la symétrie ce moment d'inertie est 2 fois celu de la partie du cylindre situé vers les y positifs
Projettons le cylindre sur le plan xOz:
20.
Considérons le solide homogène limité
par l'ellipsoïde: a) Calculer les coordonnées du centre de gravité de la partie du solide située dans le premier octant. b) Calculer le moment d'inertie du solide tout entier par rapport à l'axe des x.
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et
par dessous par le cône 
où
.
En déduire le volume de la sphère.
avec
avec
et
sur la portion du cylindre:
, comprise entre les
plans: z = 0 et z = b>0.
, et z = 0.
. Calculer
en réalisant un découpage de
ce domaine au moyen des plans d'équations: x + y + z = µ.
, on doit
alors retrouver le volume de la sphère. En effet :
défini par les inégalités:
Le volume entier devient :
je dois avoir le volume de
l’ellipsoïde. En effet :
