T.D.8

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Part 1

 

1.      Chercher le volume du domaine limité par dessus par la sphère et par dessous par le cône  où a  est une constante telle que . En déduire le volume de la  sphère.

Corrigé 1

  

 

En posant

-

2.       Calculer les intégrales triples suivantes:

 avec

Corrigé 2

 

 


Þ

-

3.      Calculer

a)         Le volume de l’ellipsoïde définie par

b)         avec

Corrigé 3

a)      Utilisions les coordonnées elliptiques à savoir :

 Þ

 Þ

Le jacobien de la transformation est

Le volune est donc Þ

b)  Posons 

Þ  Þ

Þ

-

4.       Calculer le volume du domaine D limité par:    

Corrigé 4

  

-

5.      Calculer le volume de l'ensemble D limité par les surfaces:

Corrigé 5

 Þ Cône

 

Graphe

 et  Þ

En coordonnées cylindriques : 

-

6.      On désigne par D la portion commune à:

 Calculer l'intégrale: 

Corrigé 6

-

7.      Calculer le volume de la région limitée par:

 

Corrigé 7

    

 

-

8.      Soit A la région bornée par les  surfaces suivantes:

 {y = 1, y = ‑x, x = 0, z = 0  et z = ‑x.} . Calculer:

Corrigé 8

 

-

9.      Calculer, en utilisant les coordonnées sphériques, le volume  intérieur au cône:

Corrigé 9

-

10.  Soit A la région comprise entre deux sphères concentriques centrées à l'origine de rayons respectifs a et 1  avec 0 < a < 1. Trouver l'intégrale triple de la fonction: 

Corrigé 10

   

En utilisant les surfaces de niveux :

 

-


11.  Calculer l'intégrale triple de  sur la portion du cylindre: , comprise entre les plans: z = 0 et z = b>0.

Corrigé 11

-

12.  Calculer le volume de la région bornée par :
le cylindre y = cosx,  et les plans z = y, x = 0, , et z = 0.

Corrigé 12

 

-

13.  Calculer, en utilisant les coordonnées cylindriques, le volume de la partie de la sphère  comprise à l'intérieur du  cylindre: r = a sint.

Corrigé 13

 

 

 

 

-

14.  Calculer le volume de la région bornée par le cylindre r² = 16, et  par les plans:

z = 0, et y = 2z.

Corrigé 14

 

-

15.  Soit .  Calculer  en réalisant un découpage de ce domaine au moyen des plans d'équations: x + y + z = µ.

Corrigé 15

 

 

-

16.  Calculer le volume limité par une sphère (S) et deux plans dont l'intersection est tangente à (S).

Corrigé 16

 

 

On adoptera pour l’ axe des z l’intersection des deux plans, pour l’axe des y la droite portant le diamètre perpendiculaire à cette intersection au point O et pour axe des x la 2ème tngente à la sphère menée par O.

 

    

§         L’équation cartésienne de cette sphère est

Þ       

§         Le volume est donné par :

Þ       

Þ       

Þ       

Þ

           

§         On peut vérifier les calculs en prenant  ,  on doit alors retrouver le volume de la sphère. En effet :

Þ       

-

 

17.  Calculer le volume du domaine de  défini par les inégalités:

Corrigé 17

Utilisions les coordonnées elliptiques:

 Þ  Þ

Le jacobien de la transformation est

La surface est devenu ainsi :

Méthode 1 : Volume d'un triangle sphèique + le volume du cone

  

Utilisons les coordonnées sphériques :

Equation du plan z = h en coordonnées sphériques 

Volume du triangle sphèique

Volume du  2 cônes,

Le volume entier devient :

 

Vérification

Lorsque  je dois avoir le volume de l’ellipsoïde. En effet :

Méthode 1 : Volume de la sphère - le volume de 2 calottes

Vérification

Lorsque  Þ  =  le volume de l’ellipsoïde

-

 

Part 2

 

18.  Calculer la masse de la boule sphérique de rayon a>0, si la densité en tout point est égale à une constante k multipliée par la distance de ce point au centre.

Corrigé 18

En passant en coordonnées sphériques :

L'intégrale est à variables séparées :


19.  Déterminer le moment d’inertie:

a)         d'un cône circulaire de hauteur h, de rayon de base a et de densité constante d, par rapport au diamètre de base.

 

 

b)        d'un cylindre circulaire homogène de hauteur h et de rayon de base a par rapport à l'axe servant de diamètre à la base du cylindre.

Corrigé 19

Partie a)

L'équation de ce cône est donné par :

L'équation de la projection du cône sur le plan xoy est celui du disque de la base :

Nous supposerons que le diamètre en question est porté par l'axe des x.

Nous utiliserons les coordonnées cylindriques :

Partie b)

Nous supposerons toujours que le diamètre en question est porté par l'axe des x. A cause de la symétrie ce moment d'inertie est 2 fois celu de la partie du cylindre situé vers les y positifs

Projettons le cylindre sur le plan xOz:

-

20.  Considérons le solide homogène limité par l'ellipsoïde:

a)         Calculer les coordonnées du centre de gravité de la partie du solide située dans le  premier octant.

b)        Calculer le moment d'inertie du solide tout entier par rapport à  l'axe des x.