T.D.9

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1.      Calculer l'aire des surfaces suivantes:

a)      Un cône de hauteur "h" obtenu en tournant la droite autour de Oz;  z 0.

Méthode 1

Méthode 2

Equation du cône en coordonnées

 Þ

 

b)      La partie de z =x y située au‑dessus du disque

c)      La partie de la sphère  située entre les plans

.  Méthode 1

 

Méthode 2

Þ

Þ

 Þ

 

2.      Intégrer les fonctions suivantes sur les surfaces indiquées:

a)       sur l'hémisphère  de rayon a centrée à l'origine.            rép.:

Méthode 1

 

Méthode 2

 

b)      sur l'hémisphère  de rayon a centrée à l'origine.rép.:

Méthode 1

Méthode 2

c)             sur               

Méthode 1

Méthode 2

 

d)      z  sur  avec          

e)      z           sur  avec

 

 

f)        x          sur  avec 0 z a.                                 rép.:  0

Þ 

 

g)             sur  avec 0 < z < a.                                 rép.:

 Þ

 

3.      Intégrer les champs de vecteurs suivants sur les surfaces indiquées, autrement dit calculer leur flux :

a)         avec     rép.

Paramétrisons cette paraboloïde:

Ainsi le flux est égal:

 

b)           sur  avec 0 £ r £1 et  0 £q £2prép

 ;

 

c)       sur  X(t, u) = (t +u, t‑ u, t)  avec  0 £ t £ 2  et 1 £ u £ 3. rép.    

; Þ  

 

d)      F(x, y, z) = (x, 0, 0) sur la partie de la sphère unitaire centrée à l'origine située à l'intérieur  du cône  ;    z ³ 0.         rép.

 

4.      Soit S la frontière du cube unitaire:  0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1, 0 £ z £ 1. Calculer sur ce cube l'intégrale du champ de vecteurs   Rép.

Les conditions du théorème d'Ostrogradsky étant vérifiées :

Þ

 

5.      Calculer l'aire de la portion de cône d'équation  située  à l'intérieur de la surface d'équation   et telle que  z ³0.   rép.

Intersection des 2 surfaces :

Þ

 

6.      Calculer l'intégrale  où F est le champ de vecteurs:  et S la surface  

 

Les conditions du théorème de Stokes étant vérifiées :

Equation de la courbe C :  

 

7.      Vérifiez le théorème de Stokes pour :   et S le triangle  rép.

 

Méthode 1

 Þ

 Þ

Méthode 2

Paramétrisons les courbes :

Þ

 Þ

 Þ

 Þ

 Þ

Þ

 

8.      Calculer en utilisant le théorème de Stokes l'intégrale

a)       sur le triangle dont les sommets sont (1,0,0,), (0,1,0), (0,0,1).


Méthode 1

Þ

Méthode 2

Paramétrisons les courbes :

Þ  

 Þ

 Þ

 Þ

 Þ

Þ

 

b)       sur l'hémisphère ,  z 0.

Méthode 1

Þ

Méthode 2

 Þ

Þ

Þ

 

9.      Utiliser le théorème de la divergence pour calculer l'intégrale suivante:  où S est la surface formée par l’hémisphère et par le plan z = 0.

Posons: 

Les conditions du théorème d'Ostrogadsky étant vérifiées

En passant en coordonnées sphériques :

 

10.  Soit S une portion de surface orientée, limitée par une courbe fermée C. On désigne par , ,    les cosinus directeurs de la  normale à S orientée vers l'extérieur.

a)      Transformer en intégrale curviligne l'intégrale de surface:

Posons : ; ;  et

Nous remarquons

Þ

b)      Calculer I lorsque S est la portion du plan x=1 définie  par :

, ,  

    

Segment z = - y

 Þ

Þ

 

Segment z = y

 Þ

Þ

Courbe C:

Þ

(Sciences 82‑83, 26 pts)

 

11.  Soit dans l'espace, une surface fermée simple. D le domaine  qui  lui est intérieur, et n le vecteur unitaire de la normale  extérieure à  S. Démontrer que le volume de D est donné par :  

On peut choisir . D’après Ostrogradsky :

On peut supposer ici que puisque la surface est fermée.

On peut choisir . D’après Ostrogradsky 

(Sciences 82‑83, 10  pts)

 

12.  Montrer que le champ de vecteur  est le gradient d'un champ scalaire f que l'on déterminera.

Calculer en  utilisant le théorème d'Ostrogradsky le flux de ce  champ sortant de la sphère:   

 (Sciences 79‑80, 24  pts)

 

 Þ

Þ F admet donc un potentiel scalaire. Calculons cette fonction potentielle.

Þ

 Þ

Þ

Effectuons le changement de variable suivant :

La sphère devient :

 

13.  On considère la nappe de la surface conique d'équation  , z ³0.

a)      Montrer que le vecteur normal à la surface conique orientée vers l'extérieur est donné par 

Le vecteur normale au cône est donné par :

b)      Calculer le flux du champ de vecteurs: V = (2x, ‑2y, z² ), à travers la surface S limitée par le cône  ; z ³ 0 et le   disque  du plan z = 2, le vecteur normal étant orienté vers l'extérieur.

c)      En déduire la valeur de l'intégrale :où D est le domaine limité par la surface S.

(Sciences 84‑85, 25  pts